Dla jakich wartosci parametru m...

[Maruder11]

Dla jakich wartosci parametru \(\displaystyle{ m}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)=2x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+10x+m}\) ma pierwiastek trzykrotny
Probowalem hornerem ale predzej mi....niz to zrobie w ten sposob ??:

[greey10]

pomylka w definicji i liczeniu musze przyswoic sobie czytanie definicji do konca...



//// poprawione

liczysz pierwsza i druga pochodna:
\(\displaystyle{ w'(x)=8x^{3}-6x^{2}-12x+10\\
w''(x)=24x^{2}-12x-12}\) wspolny pierwiastek jak widac jest 1 tak wiec tylko on moze byc pierwiastkiem potrojny rowniania w(x) wiec wstawiamy za x=1 i obliczamy m wychodzi m=-4

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ W(x)=2x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+10x+m = 2(x-a)^3 (x-b)}\)

[mat1989]

Wielomian jest stopnia 4 i ma trzykrotny pierwiastek, więc musi mieć jeszcze jeden pierwiastek jednokrotny i można wielomian zapisać następująco: \(\displaystyle{ W(x)=2 (x-x_1)^3 (x-x_2)}\)
Teraz wymnóż tą postać i porównaj współczynniki przy odpowiednich składnikach.

[ Dodano: 7 Maj 2007, 14:54 ]
O nawet całe rozwiązanie znalazłem.

Treść zadania:

Dla jakich wartości parametru m wielomian W(x)=2x4-2x3-6x2+10x+m ma pierwiastek trzykrotny?




Rozwiązanie:

1. Jeśli wielomian ma pierwiastek trzykrotny, to można zapisać go w postaci iloczynowej w następujacy sposób:

W(x)=2(x-p1)3(x-p2)

gdzie p1 – pierwiastek trzykrotny, p2 – drugi pierwiastek jednokrotny. Należy założyć, że p1≠p2, gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy pierwiastek czterokrotny.




2. Rozwijamy otrzymaną postać iloczynową do postaci sumy jednomianów redukując wyrazy podobne:

W(x) = 2(x – p1)3(x – p2) = 2(x3 – 3x2p1 + 3xp12 – p13)(x – p2) =

= 2(x4 – 3x3p1 + 3x2p12 – xp13 – x3p2 + 3x2p1p2 – 3xp12p2 + p13p2) =

= 2[x4 – (3p1 + p2)x3 + 3(p12 + p1p2)x2 – (p13 + 3 p12p2)x + p13p2] =

= 2x4 – 2(3p1 + p2)x3 + 6(p12 + p1p2)x2 – 2(p13 + 3 p12p2)x + 2p13p2




3. Przyrównując otrzymaną postać z postacią wielomianu podaną w treści zadania dostajemy:

(1) - 2(3p1 + p2) = -2
(2) 6(p12 + p1p2) = -6
(3) – 2(p13 + 3 p12p2) = 10
(4) 2p13p2 = m




Z (1) dostajemy, że:

(5) 3p1 + p2 = 1, czyli p2 = 1 – 3p1

Z (2) mamy, że:

p12 + p1p2 = -1

po podstawieniu p2 z równania (5) otrzymujemy

p12 + p1 (1 – 3p1)= -1

p12 + p1 – 3p12= -1

-2p12 + p1 + 1= 0

4. Znajdujemy pierwiastki tego równania kwadratowego:

a) wyróżnik trójmianu kwadratowego po lewej stronie równania

Δ = 12 – 4• (-2) •1 = 9

stąd

sqrt(Δ) = sqrt(9) = 3

b) co dalej daje nam pierwiastki

p11 = (-1 + 3)/(2 • (-2)) = 2/(-4) = -1/2 , oraz

p12 = (-1 - 3)/(2 • (-2)) = -4/(-4) = 1

Z obydwu odpowiednio wstawiając do (5) dostajemy:

p21 = 1 – 3 • (-1/2) = 1 + 3/2 = 5/2, oraz

p22 = 1 – 3 • 1 = -2

5. Sprawdzamy teraz, czy obie pary spełniają nam równanie (3)


– 2(p13 + 3 p12p2) = 10



po podstawieniu p11 i p21 dostajemy

- 2 ( (-1/2)3 + 3 (-1/2)2 • (5/2)) = -2 ((-1/8) + 3 • 1/4 • 5/2 ) = -2 ( -1/8 + 15/8 ) = - 2 • 14/8 = 14/4 = 3,5 co nie jest równe 10 i należy odrzucić

oraz po podstawieniu p12 i p22 dostajemy

- 2 ( (1)3 + 3 (1)2 • (-2)) = -2 ( 1 - 6) ) = 10 co jest równe 10 i należy przyjąć




6. W związku z tym, po podstawieniu do równania (4), otrzymujemy :

m = 2 • 13 • (-2) = -4

Odpowiedź:

Wielomian W(x)=2x4-2x3-6x2+10x+m ma pierwiastek potrójny dla m = -4. Dodatkowo mozemy stwierdzić, ze tym pierwiastkiem jest liczba 1. Drugim, pojedynczym pierwiastkiem jest liczba -2.

[Maruder11]

Eeeee bez obrazy mat1989 ale wole jednak sposob z pochodznymi
Pytanie do greey10... Czy jest jakies twierdzenie wiazace k-krotne pierwiastki wielomianu z pochodna [/b]

[max]

Jeśli liczba p jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu to jest k-1-krotnym pierwiastkiem jego pochodnej.

Dowód:
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ p \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ k \mathbb{Z}, \, k qslant 1}\). Niech:
\(\displaystyle{ W(x) = (x - p)^{k}Q(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest dowolnym wielomianem niepodzielnym przez \(\displaystyle{ x - p}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ W'(x) = (x - p)^{k - 1}\cdot (k\cdot Q(x) + (x - p)\cdot Q'(x))}\)
Ponieważ wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ x - p}\), to również:
\(\displaystyle{ k\cdot Q(x) + (x - p)Q'(x)}\)
jest wielomianem niepodzielnym przez \(\displaystyle{ x - p}\)
c.k.d.

edit. uzupełnienie dowodu

[Maruder11]

dobrze wiedziec
i oczywiscie w tej pochodnej \(\displaystyle{ k-1}\) krotnym, a dlanastepnej \(\displaystyle{ k-2}\) krotnym tak

[max]

To wynika z tego twierdzenia...
(\(\displaystyle{ W'(x)}\) też jest wielomianem )

[Maruder11]

Dzieki wielkie wszystkim za pmoc
Za tydzien maturka z matmy wiec na pewno jeszcze sie odezwe z jakimis problemami
Pozdrawiam

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ W^{\prime \prime}(x)=12(2x^2-x-1) = ...}\)
tj x=1 lub x=-0,5 ....