Jak najprościej rozwiązać takie równanie?

[Dreamer1x6xX]

\(\displaystyle{ x^{3}=6+x}\)

grupowaniem chyba się nie da, przenieść na jedną stronę i hornerem tylko?

[Ania221]

A graficznie?
wykres lewej strony, wykres prawej strony?

[Dreamer1x6xX]

A graficznie?
wykres lewej strony, wykres prawej strony?

nie no raczej funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}}\) niezbyt wygodnie by się rysowało.

[rtuszyns]

Zwyczajnie:
\(\displaystyle{ x^3-x-6=0}\)
Widać od razu, że \(\displaystyle{ W(2)=0}\)
Teraz tw. Bezout i dzielenie wielomianów. Potem rozkład trójmianu na czynniki liniowe i gotowe.

Odpowiedź (w \(\displaystyle{ \CC}\)): \(\displaystyle{ x=2 \vee x=-1-i\sqrt{2} \vee x=-1+i\sqrt{2}}\)

[Dreamer1x6xX]

Zwyczajnie:
\(\displaystyle{ x^3-x-6=0}\)
Widać od razu, że \(\displaystyle{ W(2)=0}\)
Teraz tw. Bezout i dzielenie wielomianów. Potem rozkład trójmianu na czynniki liniowe i gotowe.

Odpowiedź (w \(\displaystyle{ \CC}\)): \(\displaystyle{ x=2 \vee x=-1-i\sqrt{2} \vee x=-1+i\sqrt{2}}\)

Ale te równanie ma tylko jedno rozwiązania i jest nim x=2.

Bo po schemacie Hornera wychodzi: \(\displaystyle{ (x-2)(x^{2}+2x+3)}\) z pierwszego nawiasu "2" z drugiego nic bo \(\displaystyle{ \Delta <0}\)

[rtuszyns]

Zwyczajnie:
\(\displaystyle{ x^3-x-6=0}\)
Widać od razu, że \(\displaystyle{ W(2)=0}\)
Teraz tw. Bezout i dzielenie wielomianów. Potem rozkład trójmianu na czynniki liniowe i gotowe.

Odpowiedź (w \(\displaystyle{ \CC}\)): \(\displaystyle{ x=2 \vee x=-1-i\sqrt{2} \vee x=-1+i\sqrt{2}}\)

Ale te równanie ma tylko jedno rozwiązania i jest nim x=2.

Bo po schemacie Hornera wychodzi: \(\displaystyle{ (x-2)(x^{2}+2x+3)}\) z pierwszego nawiasu "2" z drugiego nic bo \(\displaystyle{ \Delta <0}\)

Ale nie było powiedziane w treści zadania, że rozwiązujemy w zbiorze liczb rzeczywistych...

[Dreamer1x6xX]

Ale nie było powiedziane w treści zadania, że rozwiązujemy w zbiorze liczb rzeczywistych...

No wiesz to raczej zadanie na poziomie licealnym, zdaję maturę na rozszerzeniu, a ty mi wyjeżdżasz z liczbami zespolonymi, ale spoko:D

[rtuszyns]

Ale nie było powiedziane w treści zadania, że rozwiązujemy w zbiorze liczb rzeczywistych...

No wiesz to raczej zadanie na poziomie licealnym, zdaję maturę na rozszerzeniu, a ty mi wyjeżdżasz z liczbami zespolonymi, ale spoko:D

Więc liczby zespolone znasz. Nic nie stoi na przeszkodzie aby okroić rozwiązania do zbioru liczb rzeczywistych.

[Mariusz M]

Można też w ten sposób

\(\displaystyle{ x^{3}=6+x\\
x^3-x-6=0\\
x=u+v\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-\left( u+v\right)-6=0\\
u^3+v^3-6+3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{1}{3} \right)=0\\
\begin{cases} u^3+v^3-6=0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{1}{3} \right)=0 \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=6 \\ uv= \frac{1}{3} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=6 \\ u^3v^3= \frac{1}{27} \end{cases} \\
t^2-6t+\frac{1}{27}=0\\
t^2-6t+9-\frac{242}{27}=0\\
\left( t-3\right) -\frac{242}{27}=0\\
\left( t-3-\frac{11\sqrt{6}}{9}\right)\left( t-3+\frac{11\sqrt{6}}{9}\right)=0\\
\left( t-\frac{81+33 \sqrt{6} }{27}\right)\left(t-\frac{81-33 \sqrt{6} }{27} \right)=0\\
u^3= \frac{81+33 \sqrt{6}}{27}\\
v^3= \frac{81-33 \sqrt{6} }{27}\\
x_{1}= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{81+33\sqrt{6}}+ \sqrt[3]{81-33 \sqrt{6} } \right)\\
x_{1}= \frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{\left( 3+ \sqrt{6} \right)^3 }+ \sqrt[3]{\left( 3- \sqrt{6} \right)^3 } \right)\\
x_{1}=\frac{1}{3}\left( 3+ \sqrt{6}+3- \sqrt{6} \right)= \frac{1}{3} \cdot 6=2\\}\)

Metoda działa na każde równanie trzeciego stopnia (o ile znasz liczby zespolone)
i wbrew powszechnej opinii nie jest zbyt trudna
(do opanowania dla przeciętnego licealisty zwłaszcza takiego który je kończył ok 15 lat temu albo wcześniej)


Pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki mają postać \(\displaystyle{ \varepsilon_{k}=e^{\frac{2ki\pi}{3}} \qquad k=0,1,2}\)

Przyjrzyj się układowi równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=6 \\ uv= \frac{1}{3} \end{cases}\\}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ u_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{1}}\) go spełnają to
będą go spełniały także \(\displaystyle{ u_{2}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }u_{1}\\v_{2}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }v_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ u_{3}=e^{ \frac{4i\pi}{3} }u_{1}\\v_{3}=e^{ \frac{2i\pi}{3} }v_{1}}\)
(wystarczy wstawić do równania aby się przekonać)

Metodę tę można uogólnić na równania czwartego stopnia