Równanie wielomianowe z wartością bezwzględną

[chillout]

\(\displaystyle{ \left|x ^{3}-3x ^{2} -9x+27 \right| + \left| x ^{3} -13x+12\right| +\left| x ^{4}-81 \right| = 0}\)

Po rozłożeniu:
\(\displaystyle{ \left| \left( x-3\right)\left( x-3\right)\left( x+3\right) \right| + \left| \left( x-1\right)\left( x-4\right) \left( x+3\right) \right| + \left| \left( x-3\right)\left( x+3\right) \left( x ^{2}+9 \right) \right|=0}\)

Na początku opuszczę wartość bezwzględną z \(\displaystyle{ \left( x-3 \right)^{2}}\) i z \(\displaystyle{ \left( x ^{2} +9\right)}\)
No i pytanie co zrobić z tym dalej?

[realityoppa]

Musisz się pobawić z przedziałami

[loitzl9006]

Inne podejście zastosuj bo tak się będziesz dużo męczyć.

Skorzystaj z tego, że wartość bezwzględna (każda) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \ge 0}\), a więc suma trzech wartości bezwzględnych, jaką masz po lewej stronie równania przyjmie wartość zero tylko wtedy, gdy każda z trzech wartości bezwzględnych będzie zerem.

Zatem musi zachodzić warunek:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{3}-3x ^{2} -9x+27 = 0 \\ x ^{3} -13x+12=0 \\ x ^{4}-81=0 \end{cases}}\)

najprościej będzie jak rozwiążesz najpierw równanie \(\displaystyle{ x^4-81=0}\) a potem wstawisz otrzymane wyniki do 1. i 2. równania w układzie. Jak znajdziesz taką wartość \(\displaystyle{ x}\), która spełnia wszystkie trzy równania to ta wartość będzie rozwiązaniem równania. Jak nie - to równanie jest sprzeczne

[chillout]

Przedział dla każdego nawiasu?

[loitzl9006]

można ale dużo roboty - moim sposobem 5 razy szybciej rozwiążesz

[chillout]

Jeżeli wszystko dobrze zrobiłam to wyszło mi -3

[loitzl9006]

źle, błąd tkwi w tym, że źle rozkładasz wielomian \(\displaystyle{ x^3-13x+12}\): on nie jest równy \(\displaystyle{ \left( x-1\right)\left( x-4\right) \left( x+3\right)}\) tylko \(\displaystyle{ \left( x-1\right)\left( x+4\right) \left( x-3\right)}\)

i wtedy powinno ci wyjść że \(\displaystyle{ x=3}\) to rozw. równania

[chillout]

Masz rację.

[rtuszyns]

Ja jestem za tym, aby rozwiązać to zadanie krok po kroku, tzn. wyznaczyć wszystkie możliwe kombinacje znaków wartości bezwzględnych. Jest to bardzo dobre ćwiczenie zarówno rachunkowe, jak i na zrozumienie skąd wogóle się te przedziały biorą.