Pierwiastki wielokrotne wielomianu

VanHezz · Post autor: **VanHezz** » 8 lut 2014, o 13:13

Witam, mam taki problem, otóż mam znaleźć miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\). No to ja zawsze szukam tak, że wypisuje sobie dzielniki wyrazu wolnego i podstawiam je za \(\displaystyle{ x}\) Tym razem wychodzi \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\), ale skąd ja mam wiedzieć który pierwiastek jest wielokrotny a który nie i bez stosowania schematu Hornera; tutaj podwójnym jest akurat \(\displaystyle{ 1}\).
I jeszcze takie polecenie, że ta funkcja ma spełniać nierówność. \(\displaystyle{ (x-1)^{2}(x+3) > (x-1)^{2}}\). Nie rozumiem dlaczego z rozwiązania \(\displaystyle{ (-2, \infty) \setminus \{1}}\) wywalone jest 1.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 8 lut 2014, o 13:21

Jeżeli pierwiastek wielomianu jest również pierwiastkiem jego pochodnej, to jest wielokrotny.
Lub inaczej: jeżeli \(\displaystyle{ W(a)=0}\) to \(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x-a}\). Niech \(\displaystyle{ W_1(x)=\frac{W(x)}{x-a}}\). Jeżeli \(\displaystyle{ W_1(a)=0}\) to \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem co najmniej dwukrotnym.

\(\displaystyle{ 1}\) jest "wywalone" bo nie ma ostrej nierówności w tym punkcie.

VanHezz · Post autor: **VanHezz** » 8 lut 2014, o 19:38

No rozumiem, ale jak już znajdę jakiś pierwiastek, to żeby określić jego krotność, muszę dzielić wielomian przez ten dwumian i to co wyjdzie jeszcze raz itd? Nie ma szybszego sposobu?

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 8 lut 2014, o 19:47

VanHezz pisze: I jeszcze takie polecenie, że ta funkcja ma spełniać nierówność. \(\displaystyle{ (x-1)^{2}(x+3) > (x-1)^{2}}\). Nie rozumiem dlaczego z rozwiązania \(\displaystyle{ (-2, \infty) \setminus \{1}}\) wywalone jest 1.

Bo to jest nierówność ostra. Czyli pierwiastki nie wchodza do rozwiązania, na osi są puste kółeczka.

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 8 lut 2014, o 19:50

VanHezz pisze:Witam, mam taki problem, otóż mam znaleźć miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\).

Nie ma sensu tu rozpatrywać krotności miejsc zerowych. jak rozłożysz na czynniki liniowe, to samo wyjdzie ilukrotne są odpowiednie pierwiastki.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 8 lut 2014, o 19:58

VanHezz pisze:No rozumiem, ale jak już znajdę jakiś pierwiastek, to żeby określić jego krotność, muszę dzielić wielomian przez ten dwumian i to co wyjdzie jeszcze raz itd? Nie ma szybszego sposobu?

Albo pochodną. Jak się zeruje, to jeszcze raz... aż do skutku. Jak się wyzeruje \(\displaystyle{ k}\) pochodnych, to pierwiastek ma krotność \(\displaystyle{ k+1}\)

VanHezz · Post autor: **VanHezz** » 8 lut 2014, o 20:07

jak rozłożysz na czynniki liniowe, to samo wyjdzie ilokrotne są odpowiednie pierwiastki.

Ale żeby rozłożyć, muszę najpierw chyba znaleźć pierwiastki i ich krotność, żeby wstawić odpowiednią potęgę przy dwumianie.

edit. juz nieważne. wszystko wiem. dzieki

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 8 lut 2014, o 20:17

Nie musisz - podzielisz przez dwumian, nic nie będzie przeszkadzać jeśli ten sam dwumian się powtórzy.

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 9 lut 2014, o 08:18

VanHezz pisze:
jak rozłożysz na czynniki liniowe, to samo wyjdzie ilokrotne są odpowiednie pierwiastki.
Ale żeby rozłożyć, muszę najpierw chyba znaleźć pierwiastki i ich krotność, żeby wstawić odpowiednią potęgę przy dwumianie.

Właśnie to miałem na myśli:

piasek101 pisze:Nie musisz - podzielisz przez dwumian, nic nie będzie przeszkadzać jeśli ten sam dwumian się powtórzy.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 lut 2014, o 09:48

Uff, podyskutowaliśmy sobie tutaj mniej lub bardziej efektywnie na tematy teoretyczne, ale w konkretnym zadaniu mamy rozstrzygnąć, który z pierwiastków jest wielokrotny.

Wiesz, że są dwa pierwiastki: \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\). Ze wzorów Viete'a wiesz, że iloczyn pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ -3}\), zatem \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem podwójnym.

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 9 lut 2014, o 11:18

VanHezz pisze:Witam, mam taki problem, otóż mam znaleźć miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\).

Tu zostało jasno napisane co trzeba zrobić.
Autor zadania taką właśnie podał treść nie pisząc dokładnie i konkretnie, że rozstrzygnąć trzeba, które z pierwiastków są jakiej krotności.
Reszta treści wygląda jak nie treść zadania ale sposób postępowania autora.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 lut 2014, o 11:29

@rtuszyn

VanHezz pisze:Witam, mam taki problem, otóż mam znaleźć miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\). No to ja zawsze szukam tak, że wypisuje sobie dzielniki wyrazu wolnego i podstawiam je za \(\displaystyle{ x}\) Tym razem wychodzi \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\), ale skąd ja mam wiedzieć który pierwiastek jest wielokrotny a który nie i bez stosowania schematu Hornera; tutaj podwójnym jest akurat \(\displaystyle{ 1}\).

Jak widzisz to sam autor był zainteresowany rozstrzygnięciem, który z pierwiastków jest podwójny. Zaproponował schemat Hornera do rozstrzygnięcia tego problemu, i stąd wzięła się cała dyskusja.
Moim zdaniem wzory Viete'a sprawują się tutaj bardzo elegancko.

Inna sprawa, że za odpowiedź: pierwiastkami są \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\) nie dałbym rozwiązującemu kompletu punktów.

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 9 lut 2014, o 12:12

a4karo pisze:@rtuszyn
VanHezz pisze:Witam, mam taki problem, otóż mam znaleźć miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\). No to ja zawsze szukam tak, że wypisuje sobie dzielniki wyrazu wolnego i podstawiam je za \(\displaystyle{ x}\) Tym razem wychodzi \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\), ale skąd ja mam wiedzieć który pierwiastek jest wielokrotny a który nie i bez stosowania schematu Hornera; tutaj podwójnym jest akurat \(\displaystyle{ 1}\).
Jak widzisz to sam autor był zainteresowany rozstrzygnięciem, który z pierwiastków jest podwójny. Zaproponował schemat Hornera do rozstrzygnięcia tego problemu, i stąd wzięła się cała dyskusja.
Moim zdaniem wzory Viete'a sprawują się tutaj bardzo elegancko.

Inna sprawa, że za odpowiedź: pierwiastkami są \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\) nie dałbym rozwiązującemu kompletu punktów.

Gdyby autor miał chęć rozwiązania krok po kroku (znalezienia wszystkich pierwiastków), to sam odpowiedziałby sobie na swoje pytanie o krotność pierwiastków, a tymczasem autor szukał jak najprostszego sposobu "strzelając" m. in. w schemat Hornera. Dla mnie to wygląda na trochę lenistwa...

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 lut 2014, o 14:40

@rtuszyn
przeczytaj uważnie oryginalny post. Tam autor stwierdził wyraźnie, że zastosował Hornera i stwierdził, że \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem podwójnym. Rozwiązał zatem zadanie kompletnie. A to, że Horner jest pracochłonny skłoniło go do pytania, czy nie da się tego zrobić prościej.

Zatem to nie lenistwo, ale dążenie do optymalizacji czy też prostoty - rzecz jak najbardziej chwalebna. I nie ma nic złego w tym, że pyta innych - to też metoda zdobywania wiedzy.

Pozdrawiam serdecznie