Pierwiastki wielokrotne wielomianu
-
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 34 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
Witam, mam taki problem, otóż mam znaleźć miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\). No to ja zawsze szukam tak, że wypisuje sobie dzielniki wyrazu wolnego i podstawiam je za \(\displaystyle{ x}\) Tym razem wychodzi \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\), ale skąd ja mam wiedzieć który pierwiastek jest wielokrotny a który nie i bez stosowania schematu Hornera; tutaj podwójnym jest akurat \(\displaystyle{ 1}\).
I jeszcze takie polecenie, że ta funkcja ma spełniać nierówność. \(\displaystyle{ (x-1)^{2}(x+3) > (x-1)^{2}}\). Nie rozumiem dlaczego z rozwiązania \(\displaystyle{ (-2, \infty) \setminus \{1}}\) wywalone jest 1.
I jeszcze takie polecenie, że ta funkcja ma spełniać nierówność. \(\displaystyle{ (x-1)^{2}(x+3) > (x-1)^{2}}\). Nie rozumiem dlaczego z rozwiązania \(\displaystyle{ (-2, \infty) \setminus \{1}}\) wywalone jest 1.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
Jeżeli pierwiastek wielomianu jest również pierwiastkiem jego pochodnej, to jest wielokrotny.
Lub inaczej: jeżeli \(\displaystyle{ W(a)=0}\) to \(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x-a}\). Niech \(\displaystyle{ W_1(x)=\frac{W(x)}{x-a}}\). Jeżeli \(\displaystyle{ W_1(a)=0}\) to \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem co najmniej dwukrotnym.
\(\displaystyle{ 1}\) jest "wywalone" bo nie ma ostrej nierówności w tym punkcie.
Lub inaczej: jeżeli \(\displaystyle{ W(a)=0}\) to \(\displaystyle{ W(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ x-a}\). Niech \(\displaystyle{ W_1(x)=\frac{W(x)}{x-a}}\). Jeżeli \(\displaystyle{ W_1(a)=0}\) to \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem co najmniej dwukrotnym.
\(\displaystyle{ 1}\) jest "wywalone" bo nie ma ostrej nierówności w tym punkcie.
-
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 34 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
No rozumiem, ale jak już znajdę jakiś pierwiastek, to żeby określić jego krotność, muszę dzielić wielomian przez ten dwumian i to co wyjdzie jeszcze raz itd? Nie ma szybszego sposobu?
-
- Użytkownik
- Posty: 1923
- Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 326 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
Bo to jest nierówność ostra. Czyli pierwiastki nie wchodza do rozwiązania, na osi są puste kółeczka.VanHezz pisze: I jeszcze takie polecenie, że ta funkcja ma spełniać nierówność. \(\displaystyle{ (x-1)^{2}(x+3) > (x-1)^{2}}\). Nie rozumiem dlaczego z rozwiązania \(\displaystyle{ (-2, \infty) \setminus \{1}}\) wywalone jest 1.
- rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2042
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
Nie ma sensu tu rozpatrywać krotności miejsc zerowych. jak rozłożysz na czynniki liniowe, to samo wyjdzie ilukrotne są odpowiednie pierwiastki.VanHezz pisze:Witam, mam taki problem, otóż mam znaleźć miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
Albo pochodną. Jak się zeruje, to jeszcze raz... aż do skutku. Jak się wyzeruje \(\displaystyle{ k}\) pochodnych, to pierwiastek ma krotność \(\displaystyle{ k+1}\)VanHezz pisze:No rozumiem, ale jak już znajdę jakiś pierwiastek, to żeby określić jego krotność, muszę dzielić wielomian przez ten dwumian i to co wyjdzie jeszcze raz itd? Nie ma szybszego sposobu?
-
- Użytkownik
- Posty: 245
- Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Międzyrzecz
- Podziękował: 34 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
Ale żeby rozłożyć, muszę najpierw chyba znaleźć pierwiastki i ich krotność, żeby wstawić odpowiednią potęgę przy dwumianie.jak rozłożysz na czynniki liniowe, to samo wyjdzie ilokrotne są odpowiednie pierwiastki.
edit. juz nieważne. wszystko wiem. dzieki
Ostatnio zmieniony 8 lut 2014, o 20:22 przez VanHezz, łącznie zmieniany 1 raz.
- rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2042
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
Właśnie to miałem na myśli:VanHezz pisze:Ale żeby rozłożyć, muszę najpierw chyba znaleźć pierwiastki i ich krotność, żeby wstawić odpowiednią potęgę przy dwumianie.jak rozłożysz na czynniki liniowe, to samo wyjdzie ilokrotne są odpowiednie pierwiastki.
piasek101 pisze:Nie musisz - podzielisz przez dwumian, nic nie będzie przeszkadzać jeśli ten sam dwumian się powtórzy.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
Uff, podyskutowaliśmy sobie tutaj mniej lub bardziej efektywnie na tematy teoretyczne, ale w konkretnym zadaniu mamy rozstrzygnąć, który z pierwiastków jest wielokrotny.
Wiesz, że są dwa pierwiastki: \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\). Ze wzorów Viete'a wiesz, że iloczyn pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ -3}\), zatem \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem podwójnym.
Wiesz, że są dwa pierwiastki: \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\). Ze wzorów Viete'a wiesz, że iloczyn pierwiastków wynosi \(\displaystyle{ -3}\), zatem \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem podwójnym.
- rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2042
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
Tu zostało jasno napisane co trzeba zrobić.VanHezz pisze:Witam, mam taki problem, otóż mam znaleźć miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\).
Autor zadania taką właśnie podał treść nie pisząc dokładnie i konkretnie, że rozstrzygnąć trzeba, które z pierwiastków są jakiej krotności.
Reszta treści wygląda jak nie treść zadania ale sposób postępowania autora.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
@rtuszyn
Moim zdaniem wzory Viete'a sprawują się tutaj bardzo elegancko.
Inna sprawa, że za odpowiedź: pierwiastkami są \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\) nie dałbym rozwiązującemu kompletu punktów.
Jak widzisz to sam autor był zainteresowany rozstrzygnięciem, który z pierwiastków jest podwójny. Zaproponował schemat Hornera do rozstrzygnięcia tego problemu, i stąd wzięła się cała dyskusja.VanHezz pisze:Witam, mam taki problem, otóż mam znaleźć miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\). No to ja zawsze szukam tak, że wypisuje sobie dzielniki wyrazu wolnego i podstawiam je za \(\displaystyle{ x}\) Tym razem wychodzi \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\), ale skąd ja mam wiedzieć który pierwiastek jest wielokrotny a który nie i bez stosowania schematu Hornera; tutaj podwójnym jest akurat \(\displaystyle{ 1}\).
Moim zdaniem wzory Viete'a sprawują się tutaj bardzo elegancko.
Inna sprawa, że za odpowiedź: pierwiastkami są \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\) nie dałbym rozwiązującemu kompletu punktów.
- rtuszyns
- Użytkownik
- Posty: 2042
- Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 229 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
Gdyby autor miał chęć rozwiązania krok po kroku (znalezienia wszystkich pierwiastków), to sam odpowiedziałby sobie na swoje pytanie o krotność pierwiastków, a tymczasem autor szukał jak najprostszego sposobu "strzelając" m. in. w schemat Hornera. Dla mnie to wygląda na trochę lenistwa...a4karo pisze:@rtuszynJak widzisz to sam autor był zainteresowany rozstrzygnięciem, który z pierwiastków jest podwójny. Zaproponował schemat Hornera do rozstrzygnięcia tego problemu, i stąd wzięła się cała dyskusja.VanHezz pisze:Witam, mam taki problem, otóż mam znaleźć miejsca zerowe wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}-5x+3}\). No to ja zawsze szukam tak, że wypisuje sobie dzielniki wyrazu wolnego i podstawiam je za \(\displaystyle{ x}\) Tym razem wychodzi \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\), ale skąd ja mam wiedzieć który pierwiastek jest wielokrotny a który nie i bez stosowania schematu Hornera; tutaj podwójnym jest akurat \(\displaystyle{ 1}\).
Moim zdaniem wzory Viete'a sprawują się tutaj bardzo elegancko.
Inna sprawa, że za odpowiedź: pierwiastkami są \(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ 1}\) nie dałbym rozwiązującemu kompletu punktów.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Pierwiastki wielokrotne wielomianu
@rtuszyn
przeczytaj uważnie oryginalny post. Tam autor stwierdził wyraźnie, że zastosował Hornera i stwierdził, że \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem podwójnym. Rozwiązał zatem zadanie kompletnie. A to, że Horner jest pracochłonny skłoniło go do pytania, czy nie da się tego zrobić prościej.
Zatem to nie lenistwo, ale dążenie do optymalizacji czy też prostoty - rzecz jak najbardziej chwalebna. I nie ma nic złego w tym, że pyta innych - to też metoda zdobywania wiedzy.
Pozdrawiam serdecznie
przeczytaj uważnie oryginalny post. Tam autor stwierdził wyraźnie, że zastosował Hornera i stwierdził, że \(\displaystyle{ 1}\) jest pierwiastkiem podwójnym. Rozwiązał zatem zadanie kompletnie. A to, że Horner jest pracochłonny skłoniło go do pytania, czy nie da się tego zrobić prościej.
Zatem to nie lenistwo, ale dążenie do optymalizacji czy też prostoty - rzecz jak najbardziej chwalebna. I nie ma nic złego w tym, że pyta innych - to też metoda zdobywania wiedzy.
Pozdrawiam serdecznie