Funkcja wymierna rozłóż na ułamki proste

[januszu]

Cześć wszystkim mam taką oto funkcje i nie wiem jak się za to zabrać proszę o schemat rozwiązywania żebym dalej mógł sobie radzić sam.

Funkcje wymierną rozłożyć na ułamki proste:

\(\displaystyle{ \frac{2x ^{3}- 5x^{2} + 2x - 6 }{ x^{4}+ 2x^{2} }}\)

próbowałem wyciagać coś przed nawias ale chyba nie tędy droga.

[kropka+]

https://www.matematyka.pl/298450.htm

[januszu]

no przepraszam bardzo ale nie umiem odnaleźć tego schematu i nic mi to tak naprawde nie dało

[rafalpw]

Zapisz mianownik w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ 2}\) .

[januszu]

cześć sam coś próbuje skumać ale nie wiem co dalej i czy dobrze ruszyłem

\(\displaystyle{ \frac{ 2x^{3}- 5x^{2}+2x-6}{ x^{4}+2x ^{2}} = \frac{ 2x^{3}- 5x^{2}+2x-6}{ x ^{2} (x^{2}+2)}= \frac{A}{ x^{2} }+ \frac{Bx+C}{x^{2}+2}}\)


\(\displaystyle{ 2x^{3}-5x^{2}+2x-6 =A(x ^{2} +2)+(Bx+C) x^{2}}\)

a dalej stoje w miejscu

[rafalpw]

Powinno być tak:

\(\displaystyle{ \frac{ 2x^{3}- 5x^{2}+2x-6}{ x^{4}+2x ^{2}} = \frac{ 2x^{3}- 5x^{2}+2x-6}{ x ^{2} (x^{2}+2)}= \frac{A_1}{ x }+ \frac{A_2}{x^2} + \frac{Bx+C}{x^{2}+2}}\) .

Teraz rozpisz i dalej próbuj tak samo. Jak już dojdziesz do postaci, którą masz teraz to dalej prawą stronę przedstaw w postaci: \(\displaystyle{ a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3}\) i porównuj współczynniki ze współczynnikami po lewej stronie.

[januszu]

\(\displaystyle{ \frac{ 2x^{3}- 5x^{2}+2x-6}{ x^{4}+2x ^{2}} = \frac{ 2x^{3}- 5x^{2}+2x-6}{ x ^{2} (x^{2}+2)}= \frac{A}{ x^{2} }+ \frac{Bx+C}{x^{2}+2}}\)


\(\displaystyle{ 2x^{3}-5x^{2}+2x-6 =A(x ^{2} +2)+(Bx+C) x^{2}= 2x^{3}-5x^{2}+2x-6 =Ax^{2} +2A+ Bx^{3} +Cx^{2}}\)

teraz to porównuje stronami
\(\displaystyle{ x ^{3} : 2=B}\)
\(\displaystyle{ x^{2} :-5=A+C}\)
\(\displaystyle{ x : -2=??}\)
\(\displaystyle{ -6=A}\)

\(\displaystyle{ B=2}\)
\(\displaystyle{ A=-6}\)
\(\displaystyle{ C=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-6}{x ^{2} } + \frac{2x+1}{ x^{2}+2 }}\)

i co o tym myślicie nie rozumiem tego A1 i A2 u Ciebie jak mam to potem porównać..

[rafalpw]

Chodzi o to, że w tym przypadku trzeba rozłożyć na \(\displaystyle{ 3}\) ułamki, a nie na \(\displaystyle{ 2}\) . Akurat nazwałem sobie niewiadome \(\displaystyle{ A_1,A_2}\) mogłem je nazwać dowolnie. Twoją metodą nie da się tego rozwiązać, więc skorzystaj z mojej wskazówki i napisz poprawnie wyrażenie w Latex-u, bo nie widać o co chodzi.

[januszu]

no okej widze że trzeba rozlożyć na 3 ułamki a nastepnie trzeba je porównać ze sobą stronami czy jak?

[rafalpw]

Tak. Dalej rozwiązujesz tak samo jak próbowałeś.

[januszu]

jak z tym ruszyć bo tutaj widze był model na krzyż, a teraz co przez co przemnożyć?
sorry za moje głupie pytania ale nie umiem sobie tego wyobrazić

[rafalpw]

Po prostu sprowadzasz do wspólnego mianownika, a potem porównujesz liczniki.

[januszu]

\(\displaystyle{ \frac{A_1x}{ x^{2}} +\frac{A_2}{x ^{2} } }+ \frac{Bx+C}{ x^{2}+2 }= \frac{A_1x+A_2}{2 x^{2} }+ \frac{Bx+C}{ x^{2}+2}}\)

no i teraz na krzyż czy źle to zrobiłem?

[rafalpw]

Jeśli tam jest \(\displaystyle{ +}\), a nie \(\displaystyle{ *}\) , to jest dobrze. No i indeksy \(\displaystyle{ _1, _2}\) na odwrót.

[januszu]

\(\displaystyle{ 2x ^{3}- 5x^{2} +2x-6=A_1 x^{3} +2A_1x+2A_2 x^{2} +2A_2+2Bx^{3} +2C x^{2}}\)

teraz porównuje potęgami stronami

\(\displaystyle{ 2=A_1+2B}\)

\(\displaystyle{ -5=A_2+2C}\)

\(\displaystyle{ 2=2A_1}\)

\(\displaystyle{ -6=2A_2}\)

\(\displaystyle{ A_1=1

A_2=-3

B= \frac{1}{2}

C=-1}\)

i to trzeba podstawić chyba jeszcze na koniec tak mi się wydaje..

\(\displaystyle{ \frac{x}{ x^{2} } + \frac{-3}{ x^{2}} +\frac{\frac{1}{2}x-1}{x^{2}+2 }}\)

poprawnie?