Wykaż, że wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek

Michalf · Post autor: **Michalf** » 2 lut 2014, o 22:25

Zadanie: Wykaż, że wielomian\(\displaystyle{ x^5+5x+1}\) ma dokładnie jeden pierwiastek i należy on do przedz. <-1;0>
Nie mam pojęcia jak to ruszyć.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 2 lut 2014, o 22:28

\(\displaystyle{ w(x)=x^5+5x+1}\) jest funkcją rosnącą. Znajdź przedział o końcach całkowitych, w którym zachodzi zmiana znaku. Skorzystaj z twierdzenia Bolzano-Cauchy'ego.

Po co potrzebowałem wiedzy o tym, że funkcja rośnie?

Michalf · Post autor: **Michalf** » 2 lut 2014, o 22:59

Racja - funkcja zmienia znak,
dla w(1) wynosi -5, zaś dla w (0) - 1.
Więc musi mieć jakiś pierwiastek.. ale jak udowodnić, że tylko i wyłącznie jeden?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 2 lut 2014, o 23:00

Pytałem po co mi informacja o tym, że funkcja rośnie.

Michalf · Post autor: **Michalf** » 2 lut 2014, o 23:12

No tak, logiczne. Musi mieć zatem tylko jeden pierwiastek.
Czy mogę go wyznaczyć w ten sposób: liczę pochodną funkcji - przyrównuje do zera - wychodzi, że peirwiastkiem jest \(\displaystyle{ \sqrt[4]{5}}\). Dobrze?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 2 lut 2014, o 23:19

Po co pochodna? Mieszasz pojęcia. Mylisz punkt stacjonarny (miejsce zerowe pochodnej) z miejscem zerowym funkcji. Czasem się zgadzają, czasem nie. Tu nie. A czy \(\displaystyle{ x^2-1}\) i \(\displaystyle{ 2x}\) mają wspólne pierwiastki?

Dobrej nocy.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 3 lut 2014, o 20:27

Pochodna mu się przyda aby wykazać że funkcja jest rosnąca

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 3 lut 2014, o 20:45

Ej tam... \(\displaystyle{ x^5}\) rośnie w oczywisty sposób, \(\displaystyle{ 5x+1}\) też. Suma funkcji rosnących jest funkcją rosnącą.

Unikam stosowania pochodnych tam, gdzie ich nie trzeba. Pochodna czasem są strzelaniem do much z armaty. Albo - jak dziś przeczytałem w jednej książce - zabijaniem much młotkiem. Walniesz, odgonisz na chwilę i masz komfort chwilowego spokoju.