Zamiana wielomianu na czynniki.

jasiek196 · Post autor: **jasiek196** » 2 lut 2014, o 17:00

Witam, mam pewien problem. Znam metody przekształcania wielomianów, lecz ciągle mam z nimi jakiś problem. Napotkałem taki wielomian:
\(\displaystyle{ W(x) = x^{4}+4x ^{3}+ x ^{2}-8x-6}\)

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 2 lut 2014, o 18:38

A sprawdzałeś podzielniki wyrazu wolnego? dodatnie i ujemne?

jasiek196 · Post autor: **jasiek196** » 2 lut 2014, o 22:15

Tak, właśnie zrobiłem to z pomocą tej metody. Po prostu znalazłem to w przykładach zastosowania metod delty, wzorów i grupowania.

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 2 lut 2014, o 22:17

\(\displaystyle{ x^2=3x^2 -2x^2}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 3 lut 2014, o 14:40

\(\displaystyle{ W(x) = x^{4}+4x ^{3}+ x ^{2}-8x-6\\
x^{4}+4x ^{3}+ x ^{2}-8x-6=0\\
x^4+4x^3+4x^2-\left( 3x^2+8x+6\right)=0\\
\left( x^2+2x\right)^2-\left( 3x^2+8x+6\right)=0\\
\left( x^2+2x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y+3\right)x^2+\left( 2y+8\right)+ \frac{y^2}{4}+6 \right)=0\\
\left( y^2+24\right) \left( y+3\right)-\left( 2y+8\right)^2=0\\
y^3+3y^2+24y+72-4y^2-32y-64=0\\
y^3-y^2-8y+8=0\\
y^2\left( y-1\right)-8\left( y-1\right)=0\\
\left( y-1\right)\left( y^2-8\right)=0\\
\left( x^2+2x+\frac{1}{2}\right)^2-\left( 4x^2+10x+ \frac{25}{4} \right)=0\\
\left( x^2+2x+\frac{1}{2}\right)^2-\left( 2x+ \frac{5}{2} \right)^2=0\\
\left( x^2-4\right)\left( x^2+4x+3\right)=0\\
W\left( x\right)= \left( x+2\right)\left( x-2\right)\left( x+1\right)\left( x+3\right)}\)

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 3 lut 2014, o 15:44

mariuszm pisze:\(\displaystyle{ W(x) = x^{4}+4x ^{3}+ x ^{2}-8x-6\\
x^{4}+4x ^{3}+ x ^{2}-8x-6=0\\
x^4+4x^3+4x^2-\left( 3x^2+8x+6\right)=0\\
\left( x^2+2x\right)^2-\left( 3x^2+8x+6\right)=0\\
\left( x^2+2x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y+3\right)x^2+\left( 2y+8\right)+ \frac{y^2}{4}+6 \right)=0\\
\left( y^2+24\right) \left( y+3\right)-\left( 2y+8\right)^2=0\\
y^3+3y^2+24y+72-4y^2-32y-64=0\\
y^3-y^2-8y+8=0\\
y^2\left( y-1\right)-8\left( y-1\right)=0\\
\left( y-1\right)\left( y^2-8\right)=0\\
\left( x^2+2x+\frac{1}{2}\right)^2-\left( 4x^2+10x+ \frac{25}{4} \right)=0\\
\left( x^2+2x+\frac{1}{2}\right)^2-\left( 2x+ \frac{5}{2} \right)^2=0\\
\left( x^2-4\right)\left( x^2+4x+3\right)=0\\
W\left( x\right)= \left( x+2\right)\left( x-2\right)\left( x+1\right)\left( x+3\right)}\)

A mnie wyszło inaczej.
I jak pomnożyłam z powrotem, to otrzymałam wyjściowy wielomian.
A jak pomnożyłam Twój, to nie otrzymałam tego wyjściowego tylko całkiem co innego.

szykom · Post autor: **szykom** » 3 lut 2014, o 16:10

Najłatwiej szukać pierwiastków wymiernych. W tym przypadku są nimi -1 i -3
Dalej dzielisz z np. schematem Hornera i otrzymasz:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-2)(x+1)(x+3)}\)

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 3 lut 2014, o 18:38

Ania221 pisze:
mariuszm pisze:\(\displaystyle{ W(x) = x^{4}+4x ^{3}+ x ^{2}-8x-6\\
x^{4}+4x ^{3}+ x ^{2}-8x-6=0\\
x^4+4x^3+4x^2-\left( 3x^2+8x+6\right)=0\\
\left( x^2+2x\right)^2-\left( 3x^2+8x+6\right)=0\\
\left( x^2+2x+ \frac{y}{2} \right)^2-\left( \left( y+3\right)x^2+\left( 2y+8\right)+ \frac{y^2}{4}+6 \right)=0\\
\left( y^2+24\right) \left( y+3\right)-\left( 2y+8\right)^2=0\\
y^3+3y^2+24y+72-4y^2-32y-64=0\\
y^3-y^2-8y+8=0\\
y^2\left( y-1\right)-8\left( y-1\right)=0\\
\left( y-1\right)\left( y^2-8\right)=0\\
\left( x^2+2x+\frac{1}{2}\right)^2-\left( 4x^2+10x+ \frac{25}{4} \right)=0\\
\left( x^2+2x+\frac{1}{2}\right)^2-\left( 2x+ \frac{5}{2} \right)^2=0\\
\left( x^2-4\right)\left( x^2+4x+3\right)=0\\
W\left( x\right)= \left( x+2\right)\left( x-2\right)\left( x+1\right)\left( x+3\right)}\)
A mnie wyszło inaczej.
I jak pomnożyłam z powrotem, to otrzymałam wyjściowy wielomian.
A jak pomnożyłam Twój, to nie otrzymałam tego wyjściowego tylko całkiem co innego.

To dlatego że przy zastosowaniu wzoru na różnicę kwadratów nie podzieliłem wyrazu wolnego
przez dwa
Ważne jest to że metoda działa dla każdego wielomianu choć może nie zawsze da się tak ładnie rozłożyć równanie trzeciego stopnia które wychodzi z wyróżnika