parametr i liczba rozwiązań równania

[krotka]

Mamy równanie:
\(\displaystyle{ x^4+(k-1)x^2+k^2+4k-5=0}\)
Równanie to ma mieć dwa różne rozwiązania. NAleży wyznaczyć wartości parametru \(\displaystyle{ k}\) aby tak było.
Zastosowałam to podstawienie:
Niech \(\displaystyle{ t=x^2 ,t \ge 0}\)
Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ t^2+(k-1)t+k^2+4k-5=0}\)

Żeby wyjściowe równanie miało dwa różne rozwiązania to
\(\displaystyle{ \Delta_t=0}\), tak? Jaki jeszcze warunek jest potrzebny?

[mortan517]

Może mieć też wyróżnik większy od zera i jeden ujemny pierwiastek.

353047.htm

[krotka]

Zatem:
\(\displaystyle{ \Delta_t=0 \vee \begin{cases} \Delta_t > 0 \\ t_1 \cdot t_2<0 \end{cases}}\) ?
Mam wrażenie, że jeszcze coś jest nie tak...

[mortan517]

\(\displaystyle{ \Delta>0 \ \wedge \ t_{1} \cdot t_{2} < 0 \\ \Delta=0 \ \wedge \ t_{0} > 0}\)

Tylko tyle, czemu masz takie wrażenie?

[krotka]

Bo nie wychodzi tak jak powinno...A mianowicie ja otrzymuję:
1)\(\displaystyle{ k \in \left(-2 \sqrt{2}, \right2 \sqrt{2} )\wedge k \in \left( -5\right, 1)}\)
2) \(\displaystyle{ k= -2 \sqrt{2}\vee k= 2 \sqrt{2} \wedge k=1}\)
co w efekcie końcowym nie daje prawidłowej odpowiedzi.

[mortan517]

Jaki wyszedł ci wyróżnik?

[krotka]

\(\displaystyle{ -3k-18k+21}\) i już znalazłam błąd:)więc dziękuję bardzo

Mam jeszcze natomiast problem z jeszcze jednym zadaniem...
Mamy równanie:
\(\displaystyle{ x^3+(k+1)x^2+(k-3)x-3=0}\)
Wiemy, że jednym jego rozwiązaniem jest liczba \(\displaystyle{ -1}\). Zadanie polega na wyznaczeniu parametru \(\displaystyle{ k}\) wiedząc, że podane równanie jest średnią arytmetyczną pozostałych rozwiązań.

[mortan517]

Co wynika z tego, że \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem?

[krotka]

że dany wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ (x+1)}\)?

[mortan517]

Tak, ale teraz po poprawce postu już nam tego nie trzeba.

wiedząc, że podane równanie jest średnią arytmetyczną pozostałych rozwiązań

czy

wiedząc, że podane rozwiązanie jest średnią arytmetyczną pozostałych rozwiązań

[krotka]

Przepraszam, że nie poinformowałam o edycji posta, zrobiłam to mechanicznie jak zobaczyłam błąd w treści. Ale nadal tkwię w martwym punkcie. Myślałam żeby skorzystać ze wzorów Viete`a dla równań stopnia trzeciego, ale jakoś średnio mi to idzie.

[mortan517]

Tak, trzeba z nich skorzystać. Mamy wzory Viete'a oraz warunek, że \(\displaystyle{ -1}\) jest średnią arytmetyczną pozostałych pierwiastków. Zapisz go.

[krotka]

No to skoro liczba \(\displaystyle{ -1}\) jest średnią arytmetyczną pozostałych pierwiastków to:
\(\displaystyle{ \frac{x_2+x_3}{2}=-1}\)
Odnośnie wzorów Viete`a to nie wiem czy dobrze zrozumiałam ale:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -1+x_2+x_3=-k-1 \\ -x_2-x_3+x_2x_3=k-3 \\-x_2x_3=3 \end{cases}}\)

[mortan517]

Dobrze, zajmij się tylko równaniem z średnią oraz pierwszym z Viete'y.

[krotka]

jupi:) dziękuję pięknie na całą pomoc:)