Pierwiastki rzeczywiste wielomianu trzeciego stopnia

Fnx · Post autor: **Fnx** » 20 sty 2005, o 19:39

Witam
W jaki sposób otrzymać pierwiastki rzeczywiste z równania w postaci ax^3+bx^2+cx+d przy danych wspólczynnikach. Potrzebuję tego do programu w VB, który mi będzie to obliczał. znalazlem takie wzory ale Visual Basic obsługuje tylko liczby rzeczywiste. Interesują mnie tylko pierwiastki rzeczywiste powiedzmy z przedziału -10 do 10 współczyniki tez będą tylko w tym przedziale. Są na to jakieś wzory bez liczb zespolonych??

Z góry thx

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 20 sty 2005, o 20:19

Nie ma. Nawet gdy wielomian 3-go stopnia ma tylko pierwiastki rzeczywiste, nie da się (w ogólnym przypadku ) rozwiązać go bez przejścia przez liczby zespolone. proponuję zobacz:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3419
Ja nie słyszałem o języku programowania, który by miał zaimplementowany typ liczb zespolnych. Ale zawsze można to zrobić samemu. Chociaż wydaje mi się to niekonieczne. Zobacz na
https://matematyka.pl/dload.php?action=file&id=6

arigo · Post autor: **arigo** » 20 sty 2005, o 20:51

jakies "nowe"(pare lat temu bylo nowe

) delphi mialo zaimplemtowane liczby zespolone

ale zrobienie wlasnej implementacji to kwestia kilkunastu minut i troche praktyki

bisz · Post autor: **bisz** » 20 sty 2005, o 21:03

w turbo basic wujek (ktory w tych dziedzinach wiedzy bylby nie jednemu autorytetem) mowil mi ze mozna na zespolonych trzaskac tylko trzeba wiedziec jak =] a skoro w turbo mozna to mniemam ze i w visual mozna.

arigo · Post autor: **arigo** » 20 sty 2005, o 21:04

bisz pisze:w turbo basic wujek (ktory w tych dziedzinach wiedzy bylby nie jednemu autorytetem) mowil mi ze mozna na zespolonych trzaskac tylko trzeba wiedziec jak =] a skoro w turbo mozna to mniemam ze i w visual mozna.

a widzisz jakas trudnosc w zaimplementowaniu liczb zespolonych w jakims jezyku programowania :>

Fnx · Post autor: **Fnx** » 21 sty 2005, o 15:05

Hmmm
to bardzo źle że nie mozna sie obyc bez liczb zespolonych. Tak w ogóle to nie kumam ich za bardzo bo jesem dopiero w II kl LO i ich jeszcze nie bylo. Te pierwiastki nie muszą być za dokładne powiedzmy ze styknie do 2 miejsc po przecinku. Moze ktos by mógl cos wiecej powiedziec o tej implementacji albo jakims linkiem zapodac.

liu · Post autor: **liu** » 21 sty 2005, o 16:17

To czego potrzebujesz to metody numeryczne. Uzyj googla w poszukiwaniu czegos z 'metody numeryczne' w nazwie albo wez z biblioteki dowolna ksiazke o tym, najprymitywniejsza i najprostsza jest chyba metoda siecznych, a najciekawsza ma nazwisko Sturm w nazwie

Rogal · Post autor: **Rogal** » 29 sty 2005, o 16:43

Jeżeli wielomian sześcienny ma pierwiastki rzeczywiste, to da się je podać bez przebiegania przez liczby zespolone.

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 29 sty 2005, o 18:51

Być może Ja dawno do szkół chodziłem. Sam jestem ciekaw jak te wzory wyglądają.
Najlepiej na przykłdzie 4x^3 - 3x + 0,5 = 0 z
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3419

Rogal · Post autor: **Rogal** » 29 sty 2005, o 23:10

Już zaspokajam Twą ciekawość (nadmienię tylko tyle, iż tego w szkole nie ma

):
Kiedy mamy już równanie bez kwadratu, to rzecz przedstawia się następująco:

\(\displaystyle{ \large x^{3}+px+q=0 \\ \Delta = (\frac{1}{3}p)^{3} + (\frac{1}{2}q)^{2} \\ U = -\frac{1}{2}q-\sqrt{\Delta}, \ V = -\frac{1}{2}+\sqrt{\Delta}}\)

I teraz wszystko zależy od wyróżnika. Jeżeli delta większa od 0, to pierwiastek rzeczywisty jest jeden, gdy jest równa zero, to pierwiastki rzeczywiste są dwa, z czego jeden podwójny, a najlepiej gdy jest mniejsza od zera, bo wtedy pierwiastki rzeczywiste są trzy.
(Re - część rzeczywista, ale nie wiem po co ona jest)

\(\displaystyle{ \large \Delta > 0 \\ u = Re\sqrt[3]{U}, \ v = Re\sqrt[3]{V} \\ x = u+v}\)

\(\displaystyle{ \large \Delta = 0 \\ x_{1}=x_{2}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}q}, \ x_{3} = -2x_{1} = -2\sqrt[3]{\frac{1}{2}q}}\)

\(\displaystyle{ \large \Delta < 0 \\ x_{k+1} = 2\sqrt{-\frac{1}{3}p}*\cos\frac{1}{3}(\alpha+2k\pi); \ dla \ k=0,1,2; \ = arccos(\frac{3q}{2p\sqrt{-\frac{1}{3}p}})}\)

I właśnie problem jest, gdy delta jest ujemna. Możemy otrzymać kąt, którego cosinus nie jest nam wartością znaną dokładnie i nie musisz chyba dużo zgadywać, by stwierdzić, że tak właśnie było w przypadku mojego równania . Próbowałem je najpierw rozwiązać właśnie tą metodą, ale byłem niepocieszony z wyników.
Aha, ten sposób znalazłem w książce "Analiza matematyczna, cz. I". Nie jest to może jakiś szczególnie nowatorski pomysł, ale wiem na czym polega . Po prostu jest tam uogólnienie metody, jaką zaprezentowałeś mi W_ZYGMUNCIE w przypadku mego równania. Ale i tak ten sposób imponuje .

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 30 sty 2005, o 11:00

Rogal pisze:Jeżeli wielomian sześcienny ma pierwiastki rzeczywiste, to da się je podać bez przebiegania przez liczby zespolone.

Rogal pisze: (Re - część rzeczywista, ale nie wiem po co ona jest)
\(\displaystyle{ \large \Delta > 0 \\ u = Re\sqrt[3]{U}, \ v = Re\sqrt[3]{V} \\ x = u+v}\)

Ta część rzeczywista to jest z liczby zespolonej

Rogal · Post autor: **Rogal** » 30 sty 2005, o 15:05

Wiem, że to jest część rzeczywista z liczby zespolonej, tylko, że tam nigdzie nie ma liczb zespolonych! Jedyna możliwość jest przy pierwiastku z delty, który jest przecież rzeczywisty, gdy delta jest większa od zera, a U i V jest wykorzystywane tylko przy delcie większej od zera! To po prostu jest zawsze rzeczywiste!
Już nad tym kiedyś myślałem .

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 30 sty 2005, o 18:05

Może nieporozumienie polega na tym, że wzory napisać można, ale dojście do tych wzorów (w ogólnym przypadku ) nie jest możliwe bez liczb zespolonych.

Rogal · Post autor: **Rogal** » 30 sty 2005, o 21:53

Oczywiście, że tak. Ten cosinus przy delcie mniejszej od 0, to przecież trygonometryczna interepretacja liczb zespolonych, tylko uogólniona. W każdym bądź razie i tak fajnie .