Znajdź a i b - wielomiany(+wzory Vieta 3 stopnia)

[Emerid]

Jednym z rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^{3} + ax^{2} + bx + 12 = 0}\), gdzie a,b ∊ C jest liczba \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\)
Znajdź a i b.

Widziałem już rozwiązanie polegające na obliczeniu \(\displaystyle{ W(1+ \sqrt{3})}\), następnie (z wzoru końcowego po uporządkowaniu) przyrównaniu dwóch nawiasów do zera na podstawie równości obu stron równania jedynie w wypadku, kiedy są one równe zero.

Na stronach obcojęzycznych udało mi się znaleźć inną metodę, polegająca na wykorzystaniu wzorów Vieta dla wielomianu stopnia 3.
Mianowicie, autor założył tam, że "Ponieważ \(\displaystyle{ 1+ \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu, dlatego kolejnym pierwiastkiem będzie liczba \(\displaystyle{ 1 - \sqrt{3}}\) ", zupełnie jakby to było oczywiste i zapewne jest jakieś proste wytłumaczenie, o które proszę was, abyście mi wskazali

[piasek101]

Sposób pierwszy jest intuicyjny.

W drugim zauważono, że \(\displaystyle{ 3(x-1-\sqrt 3)(x-c)(x-d)=0}\) czyli \(\displaystyle{ 3(-1-\sqrt 3)cd=12}\)

[Emerid]

Sposób pierwszy jest intuicyjny.

W drugim zauważono, że \(\displaystyle{ 3(x-1-\sqrt 3)(x-c)(x-d)=0}\) czyli \(\displaystyle{ 3(-1-\sqrt 3)cd=12}\)

Tylko to nie odpowiedziało na moje pytanie
Do wyrażenia \(\displaystyle{ 3(-1-\sqrt 3)cd=12}\) potrafię dojść z wzorów Vieta
\(\displaystyle{ x1 \cdot x2 \cdot x3 = \frac{12}{3}}\) I z tym nie mam żadnych problemów, jednakże chodzi mi o to, dlaczego można założyć, że \(\displaystyle{ x2 = 1 + \sqrt{3}}\)

[piasek101]

Liczba niewymierna \(\displaystyle{ (1+\sqrt 3)}\) pomnożona przez dwa pozostałe pierwiastki ma dać wymierną \(\displaystyle{ (-4)}\). Czyli \(\displaystyle{ cd=2(1-\sqrt 3)}\)

[Emerid]

Serdecznie dziękuję

[piasek101]

Trzeba wiedzieć, że te dwa pierwiastki (c) i (d) mogą być określone na nieskończoną ilość sposobów.