wyznacz parametr i pierwiastki wielomianu

Lyzka · Post autor: **Lyzka** » 14 sty 2014, o 17:24

suma kwadratow pierwiastkow wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=ax^3-6ax^2+(5a+6)x-6}\) jest =14. wyznacz parametr a i pierwiastki tego wielomianu jesli wspolczynniki sa liczbami calkowitymi.
wiem ze jedno miejsce zerowe to 1
\(\displaystyle{ w(x)=(x-1)(ax^2-5ax+6)}\)

\(\displaystyle{ ax^2-5ax+6}\)
\(\displaystyle{ delta=25a^2-24a}\)--> skad ja mam wiedziec ze ta delta jest dodatnia ?? zeby miala 2 pierwiastki

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 14 sty 2014, o 18:41

Po prostu \(\displaystyle{ 25a^2-24a>0}\) i rozwiązujesz...

Lyzka · Post autor: **Lyzka** » 14 sty 2014, o 21:33

ale dlaczego >0

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 14 sty 2014, o 21:37

Suma pozostałych pierwiastków (pierwiastka) to ?

Lyzka · Post autor: **Lyzka** » 14 sty 2014, o 22:23

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 15 sty 2014, o 10:57

Znając sumę (tych pozostałych) możesz skorzystać ze wzoru Viete'a (nie zapominając o warunkach dotyczących delty).

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 15 sty 2014, o 10:59

Lyzka pisze:ale dlaczego >0

Sama sobie odpowiedziałaś:

Lyzka pisze:zeby miala 2 pierwiastki

A dokładnie to \(\displaystyle{ \Delta\ge 0}\), bo pierwiastki nie koniecznie muszą być różne...

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 15 sty 2014, o 11:01

Ale nie musi mieć dwóch - nie sprawdzałem czy przypadek ,,jeden pierwiastek" zajdzie, nie możemy jednak go wykluczyć.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 15 sty 2014, o 13:41

piasek101 pisze:Znając sumę (tych pozostałych) możesz skorzystać ze wzoru Viete'a (nie zapominając o warunkach dotyczących delty).

Aby móc skorzystac ze wzorów Viete trzeba najpierw zamienic sumę kwadratów na
sumę iloczynów wielomianów symetrycznych podstawowych
a do tego może byc przydatny wzór Newtona

(Zasady algebry wyższej Sierpińskiego rozdział 9)

Warunek z wyróżnikiem byłby niepotrzebny gdybyśmy dopuszczali pierwiastki zespolone

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 15 sty 2014, o 20:27

mariuszm pisze:
Aby móc skorzystac ze wzorów Viete trzeba najpierw zamienic sumę kwadratów na
sumę iloczynów wielomianów symetrycznych podstawowych
a do tego może byc przydatny wzór Newtona

(Zasady algebry wyższej Sierpińskiego rozdział 9)

Znowu Sierpiński (armata); a ja \(\displaystyle{ 1^2+x_1^2+x_2^2=14}\)