Nierówność

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
mszerszen
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 30 kwie 2007, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podlasie
Podziękował: 1 raz

Nierówność

Post autor: mszerszen »

Wykaż że jeżeli x>1 to \(\displaystyle{ x^{2006}-1>2006(x-1)}\)
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

Nierówność

Post autor: luka52 »

\(\displaystyle{ f(x) = x^{2006} - 2006x + 2005 \\
f'(x) = 2006 x^{2005} - 2006}\)

Widać zatem, że dla x > 1 funkcja f jest rosnąca oraz f(1) = 0, stąd prosty wniosek, że dla x > 1 mamy:
\(\displaystyle{ x^{2006} - 2006x + 2005 > 0\\
x^{2006} - 1 > 2006(x-1)}\)


[ Dodano: 30 Kwiecień 2007, 15:32 ]
Lub bez pochodnych:
Doprowadzamy nierówność do postaci:
\(\displaystyle{ x(x^{2005} - 2006) + 2005 > 0}\)
Ponieważ x > 1, to \(\displaystyle{ x^{2005} > 1 \Rightarrow x^{2005} - 2006 > - 2005}\) a tym bardziej jest: \(\displaystyle{ x(x^{2005} - 2006) > -2005}\) c.k.d.
ODPOWIEDZ