wielomian z parametrem
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
wielomian z parametrem
Wyznaczyć te wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dla których wielomian \(\displaystyle{ x^{12}-x^9+x^4-x+m}\) nie ma pierwiastka rzeczywistego.
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
wielomian z parametrem
Oblicz pochodną (zniknie m).
Znajdź punkty w których jest minimum, wstaw je po kolei do nierówności
\(\displaystyle{ f(x _{min} )>0}\)
Tak znajdziesz warunki określające parametr m .
Znajdź punkty w których jest minimum, wstaw je po kolei do nierówności
\(\displaystyle{ f(x _{min} )>0}\)
Tak znajdziesz warunki określające parametr m .
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
wielomian z parametrem
Pochodna wyszła mi taka \(\displaystyle{ 12x^{11}-9x^8+4x^3-1}\), tylko nie wiem jak znaleźć jej miejsca zerowe żeby szukać tych minimów o których piszesz.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
wielomian z parametrem
Twój wielomian:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{12}-x^9+x^4-x+m}\)
Można zapisać tak:
\(\displaystyle{ f(x)=x(x^{8}+1)(x-1)(x^{2}+x+1)+m}\)
Jak widać szukane minimum będzie w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) (bo \(\displaystyle{ (x^{8}+1)(x^{2}+x+1)}\)jest dodatnie dla dowolnego x)
Wracając do WK na istnienie ekstremum to sprawdzasz tylko liczby z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\)
Wpierw sprawdzisz czy minimum wystąpi dla x wymiernego ( sprawdzasz \(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right\}}\) )
Jeśli żadna z powyższych nie wyzeruje pochodnej to musisz znaleźć jedyne rozwiązanie niewymierne. Szukasz wtedy rozwiązania przybliżonego dowolną metodą numeryczną (bisekcją, metodą siecznych itp)
\(\displaystyle{ f(x)=x^{12}-x^9+x^4-x+m}\)
Można zapisać tak:
\(\displaystyle{ f(x)=x(x^{8}+1)(x-1)(x^{2}+x+1)+m}\)
Jak widać szukane minimum będzie w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) (bo \(\displaystyle{ (x^{8}+1)(x^{2}+x+1)}\)jest dodatnie dla dowolnego x)
Wracając do WK na istnienie ekstremum to sprawdzasz tylko liczby z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\)
Wpierw sprawdzisz czy minimum wystąpi dla x wymiernego ( sprawdzasz \(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right\}}\) )
Jeśli żadna z powyższych nie wyzeruje pochodnej to musisz znaleźć jedyne rozwiązanie niewymierne. Szukasz wtedy rozwiązania przybliżonego dowolną metodą numeryczną (bisekcją, metodą siecznych itp)
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
wielomian z parametrem
Po pierwsze skąd wiadomo, że wielomian \(\displaystyle{ 12x^{11}-9x^8+4x^3-1}\) ma tylko jeden pierwiastek , po drugie przybliżone miejsce zerowe pochodnej wpływa na \(\displaystyle{ m}\), więc w ten sposób nie otrzyma się wszystkich \(\displaystyle{ m}\), a tylko te \(\displaystyle{ m}\) z pewną dokładnością.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
wielomian z parametrem
A wiadomo to stąd że :metalknight pisze:Po pierwsze skąd wiadomo, że wielomian \(\displaystyle{ 12x^{11}-9x^8+4x^3-1}\) ma tylko jeden pierwiastek
dla \(\displaystyle{ x <0}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 12x^{11}-9x^8+4x^3-1<0}\)
dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\) jest jeden pierwiastek (uzasadnienie jest w poprzednim poscie)
dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 12x^{11}-9x^8+4x^3-1=(12x^{11}-9x^{8})+(4x^{3}-1)=(x ^{8} (12x^{3}-9))+(4x^{3}-1)>0}\)
Konkluzja: Jest jeden pierwiastek w przedziale (0,1)
Tak, to prawda , ale jeśli policzysz x w którym wyrażenie osiąga minimum z dokładnością do 5(bądź 15 czy 50) miejsca po przecinku to parametr ,,m' będzie wyliczony z podobną dokładnością. I tak to lepsze rozwiązanie niż żadne. Jeśli jednak taka wartość parametru ,,m' Cię nie satysfakcjonuje to oblicz ją do 100 (dowolnego) miejsca po przecinku.metalknight pisze:po drugie przybliżone miejsce zerowe pochodnej wpływa na \(\displaystyle{ m}\), więc w ten sposób nie otrzyma się wszystkich \(\displaystyle{ m}\), a tylko te \(\displaystyle{ m}\) z pewną dokładnością.
I będzie to dokładnie jedno ,,m'.
-
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy