wielomian z parametrem

[metalknight]

Wyznaczyć te wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dla których wielomian \(\displaystyle{ x^{12}-x^9+x^4-x+m}\) nie ma pierwiastka rzeczywistego.

[kerajs]

Wskazówka:
Minimum z tej funkcji musi być dodatnie.

[metalknight]

No to wiem, ale jak znaleźć to minimum?

[kerajs]

Oblicz pochodną (zniknie m).
Znajdź punkty w których jest minimum, wstaw je po kolei do nierówności
\(\displaystyle{ f(x _{min} )>0}\)
Tak znajdziesz warunki określające parametr m .

[metalknight]

Pochodna wyszła mi taka \(\displaystyle{ 12x^{11}-9x^8+4x^3-1}\), tylko nie wiem jak znaleźć jej miejsca zerowe żeby szukać tych minimów o których piszesz.

[kerajs]

Twój wielomian:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{12}-x^9+x^4-x+m}\)
Można zapisać tak:
\(\displaystyle{ f(x)=x(x^{8}+1)(x-1)(x^{2}+x+1)+m}\)
Jak widać szukane minimum będzie w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) (bo \(\displaystyle{ (x^{8}+1)(x^{2}+x+1)}\)jest dodatnie dla dowolnego x)

Wracając do WK na istnienie ekstremum to sprawdzasz tylko liczby z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\)
Wpierw sprawdzisz czy minimum wystąpi dla x wymiernego ( sprawdzasz \(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right\}}\) )
Jeśli żadna z powyższych nie wyzeruje pochodnej to musisz znaleźć jedyne rozwiązanie niewymierne. Szukasz wtedy rozwiązania przybliżonego dowolną metodą numeryczną (bisekcją, metodą siecznych itp)

[metalknight]

Po pierwsze skąd wiadomo, że wielomian \(\displaystyle{ 12x^{11}-9x^8+4x^3-1}\) ma tylko jeden pierwiastek , po drugie przybliżone miejsce zerowe pochodnej wpływa na \(\displaystyle{ m}\), więc w ten sposób nie otrzyma się wszystkich \(\displaystyle{ m}\), a tylko te \(\displaystyle{ m}\) z pewną dokładnością.

[kerajs]

Po pierwsze skąd wiadomo, że wielomian \(\displaystyle{ 12x^{11}-9x^8+4x^3-1}\) ma tylko jeden pierwiastek

A wiadomo to stąd że :
dla \(\displaystyle{ x <0}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 12x^{11}-9x^8+4x^3-1<0}\)
dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\) jest jeden pierwiastek (uzasadnienie jest w poprzednim poscie)
dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 12x^{11}-9x^8+4x^3-1=(12x^{11}-9x^{8})+(4x^{3}-1)=(x ^{8} (12x^{3}-9))+(4x^{3}-1)>0}\)
Konkluzja: Jest jeden pierwiastek w przedziale (0,1)

po drugie przybliżone miejsce zerowe pochodnej wpływa na \(\displaystyle{ m}\), więc w ten sposób nie otrzyma się wszystkich \(\displaystyle{ m}\), a tylko te \(\displaystyle{ m}\) z pewną dokładnością.

Tak, to prawda , ale jeśli policzysz x w którym wyrażenie osiąga minimum z dokładnością do 5(bądź 15 czy 50) miejsca po przecinku to parametr ,,m' będzie wyliczony z podobną dokładnością. I tak to lepsze rozwiązanie niż żadne. Jeśli jednak taka wartość parametru ,,m' Cię nie satysfakcjonuje to oblicz ją do 100 (dowolnego) miejsca po przecinku.
I będzie to dokładnie jedno ,,m'.

[metalknight]

Przybliżanie nic nie da w tym zadaniu. Ma ktoś jakiś inny pomysł?