Dzieleniem wielomianów z resztą

[pacman7c3]

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez dwumian \(\displaystyle{ x-1}\) jest równa \(\displaystyle{ 2}\), a z dzielenia przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\) jest równa \(\displaystyle{ 5}\). Podaj wielomian \(\displaystyle{ R(x)}\), który jest resztą z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-1)(x-3)}\).

Straciłem już za dużo czasu na to proste zadanie, proszę o podpowiedź, nie wiem jak to ugryźć.

[AndrzejK]

1359.htm

[Kacperdev]

Tw. Bezouta.

\(\displaystyle{ W\left( 1\right)=2}\)
\(\displaystyle{ W\left( 3\right)=5}\)

Co dalej?

Jakiej postaci bedzie szukana reszta?

[pacman7c3]

Korzystając z tej odpowiedzi udało mi się rozwiązać zadanie. Wynik to \(\displaystyle{ R(x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}}\).
Chciałbym się jednak zapytać, dlaczego reszta ma mieć postać wielomianu pierwszego stopnia? Po tej odpowiedzi ciągle nie wiem, dlaczego reszta ma mieć postać liniową. Dlaczego nie można dzielić dalej z resztą?

\(\displaystyle{ W(1)=2\\}\)
\(\displaystyle{ W(3)=5\\}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=2 \\ 3a+b=5 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ R(x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}}\).

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ W\left( x\right)= I\left( x\right)D\left( x\right)+R\left( x\right)}\)

Reszta jest zawsze o stopień niższa od \(\displaystyle{ D\left( x\right)}\)