Powiązanie po między pierwiastkami dwóch równań - Rosja 94

[realityoppa]

Udowodnij, że jeżeli równanie \(\displaystyle{ ax^{5}+b x^{4}+c=0}\) ,gdzie \(\displaystyle{ ac \neq 0}\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste to równanie \(\displaystyle{ cx^{5}+bx+a=0}\) także ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.


W odpowiedzi jest że jeżeli \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, x_{3}}\) są pierwiastkami pierwszego równania to \(\displaystyle{ \frac{1}{ x_{1} },\frac{1}{ x_{2} },\frac{1}{ x_{3} },}\) są pierwiastkami drugiego równania, ale nie umiem tego udowodnić. Próbowałem ze wzorami Viete' a ale nie udało mi się nic wywnioskować z nich

[bakala12]

Masz takie coś:
\(\displaystyle{ ax_{1}^{5}+bx_{1}^{4}+c=0}\)
Podziel to teraz stronami przez \(\displaystyle{ x_{1}^{5}}\) (nie zapomnij żeby sprawdzić czy nie dzielisz przez 0).

[realityoppa]

Jeśli \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) to \(\displaystyle{ c=0}\) więc sprzeczność z założeniem. Jak podzielę obustronnie to dostaje:
\(\displaystyle{ a+by_{1}+c y_{1}^{5}=0}\) gdzie \(\displaystyle{ y_{1}= \frac{1}{ x_{1} }}\) i stąd teza jest już jasna. Dziękuje