wielomian

[Vixy]

Wykaz ze jesli wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax^2+bx+c}\) ma trzy pierwiastki to \(\displaystyle{ a^2 qslant 3b}\).

jak sie robi tego typu zadania?

[luka52]

Korzystamy ze wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 = -a\\
x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3 = b\\
a^2 = (x_1 + x_2 + x_3 )^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1 x_2 + 2x_2 x_3 + 2x_1 x_3 \geq 3 x_1 x_2 + 3 x_2 x_3 + 3 x_1 x_3}\)
Gdyż:
\(\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \geq x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_1 x_3\\
\frac{1}{2}x_1^2 - x_1 x_2 + \frac{1}{2} x_2^2 = \frac{1}{2}(x_1 - x_2)^2 \geq 0\\
\ldots}\)
Widzisz o co chodzi

[Vixy]

niee widze tego wogóle

[luka52]

No to tak:
\(\displaystyle{ a^2 = (x_1 + x_2 + x_3 )^2}\)
To jest chyba jasne - korzytamy ze wzorów Viete'a

\(\displaystyle{ (x_1 + x_2 + x_3 )^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1 x_2 + 2x_2 x_3 + 2x_1 x_3}\)
Tutaj wymnażamy to co jest w nawiasie

Należy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_1 x_2 + 2x_2 x_3 + 2x_1 x_3 \geq 3 x_1 x_2 + 3 x_2 x_3 + 3 x_1 x_3 \\
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - x_1 x_2 - x_2 x_3 - x_1 x_3 \geq 0}\)
Aby to udowodnić korzystamy z trzech nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x_1^2 - x_1 x_2 + \frac{1}{2} x_2^2 = \frac{1}{2}(x_1 - x_2)^2 \geq 0\\
\frac{1}{2}x_2^2 - x_2 x_3 + \frac{1}{2} x_3^2 = \frac{1}{2}(x_2 - x_3)^2 \geq 0\\
\frac{1}{2}x_1^2 - x_1 x_3 + \frac{1}{2} x_3^2 = \frac{1}{2}(x_1 - x_3)^2 \geq 0}\)
Po dodaniu ich stronami kończymy dowód.

[Vixy]

oki teraz juz jasne , niee nawidze wielomianów