Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla którego wielomian

[baklazan9494]

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4} -mx ^{2} +m+3}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których ten wielomian ma dokładnie cztery pierwiastki.

Założenia:
\(\displaystyle{ \Delta>0}\) - wiem dlaczego
\(\displaystyle{ t_1+t_2>0}\)
\(\displaystyle{ t_1t_2>0}\)

Dlaczego korzystamy ze wzorów Viete'a?

[mortan517]

Dlatego, że stosujesz podstawienie \(\displaystyle{ t=x^2}\). Widzimy, że \(\displaystyle{ t>0}\), więc żeby były 4 pierwiastki, to zarówno suma jak i iloczyn muszą być dodatnie.

[baklazan9494]

żeby były 4 pierwiastki, to zarówno suma jak i iloczyn muszą być dodatnie.

Dlaczego?

[mortan517]

Załóżmy inaczej, np.
Suma jest dodatnia, a iloczyn jest ujemny
\(\displaystyle{ t_1+t_2>0 \wedge t_1 \cdot t_2<0}\)

Wynika stąd, że jedna z liczb (\(\displaystyle{ t_1}\) lub \(\displaystyle{ t_2}\)) jest ujemna, co automatycznie odrzuca nam \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki, bo:
\(\displaystyle{ x_{1}^2<0 \wedge x_{2}^2>0}\)

Z pierwszego przypadku mamy sprzeczność, a z drugiego \(\displaystyle{ 2}\) pierwiastki.

[baklazan9494]

Z podziękowaniem!