wartość wielomianu dla nieparzystych

[taktaktak]

Uzasadnij, że dla każdej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ x}\) wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+3x^{2}-x-3}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 48}\).

Za liczbę \(\displaystyle{ x}\) podstawiam \(\displaystyle{ 2n+1}\) z założeniem, że \(\displaystyle{ n \in N}\). Dostaję wtedy \(\displaystyle{ 8n^{3}+16{n^2}+16n-10}\) i nie wiem jak mam udowodnić, że jest to podzielne przez \(\displaystyle{ 48}\)

[mortan517]

Doprowadź wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+3x^{2}-x-3}\) do postaci iloczynowej i wtedy podstawiaj.

[szw1710]

Indukcyjnie.

Jednak ja bym rozłożył najpierw wielomian na czynniki, bo widać, że możesz łatwo pogrupować. Mamy więc \(\displaystyle{ W(x)=(x^2-1)(x+3)=(x-1)(x+1)(x+3)}\) i \(\displaystyle{ W(2n+1)=2n(2n+2)(2n+4)=8n(n+1)(n+2)}\). Teraz trywialnie widać, że iloczyn \(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 6}\), więc zadanie zrobione. Jakoś wyszedł mi prawie gotowiec. Uzupełnij więc tę część z podzielnością przez \(\displaystyle{ 6}\). Nie indukcyjnie - spróbuj przeprowadzić drobne rozumowanie.

[taktaktak]

Tak, nie zauważyłem podzielności prze \(\displaystyle{ 6}\). Dziękuję bardzo