równania i nierówności wielomianowe

[asia7725]

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}-(m-2)x+2}\)
a)Dlam m=3 wyznacz zbiór wszystkich liczb całkowitych ujemnych spełniających nierówność \(\displaystyle{ f(x) \ge 2x^{2}+4x-8}\)
b)Dla m=1 rozwiąż równanie \(\displaystyle{ f(x)=8(x+1)}\)
c)Zbadaj liczbę pierwiastków równania\(\displaystyle{ f(x)=0}\)w zależności od parametru m.

Nie mam pojęcia jak zabrać się za to zadanie ..

[matematyk1995]

a) Podstaw m=3 do funkcji f i rozwiąż nierówność wielomianową, wszystko na jedną strone i do postaci iloczynowej.
b) Podstaw m=1 i rozwiąż równanie, też do postaci iloczynowej.

[asia7725]

a co z c?-- 30 gru 2013, o 17:07 --a) doprowadziłam tą funkcję do takiej postaci: (\(\displaystyle{ x - \sqrt{5} )(x+ \sqrt{5})(x-2) \ge 0}\) i jak mam wyznaczyć ten zbiór?

[rtuszyns]

Ad. a)
Jeżeli podstawimy \(\displaystyle{ m=3}\), to nasza funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie równa:
\(\displaystyle{ f(x)=x^3-x+2}\).
Zatem mamy nierówność: \(\displaystyle{ x^3-x+2 \ge 2x^2+4x-8}\).
Po redukcji wyrazów podobnych mamy, że
\(\displaystyle{ x^3-2x^2-5x+10 \ge 0}\)
Po prostym grupowaniu wyrazów otrzymujemy postać iloczynową i nasza nierówność przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \left(x^2-5\right)(x-2)\ge 0}\),
i dalej
\(\displaystyle{ \left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)(x-2)\ge 0}\).

Po naszkicowaniu wykresu metodą siatki znaków łatwo widać, że \(\displaystyle{ x\in \left\langle -\sqrt{5};2\right\rangle \cup \left\langle \sqrt{5};+\infty\right)}\)

[asia7725]

a)no ale co ze zbiorem liczb całkowitych ujemnych?

[matematyk1995]

Musisz zaznaczyć liczby całkowite ujemne należące do przedziału który podał rtuszyns

[asia7725]

no ale co z tym c? co mam tam zrobić?

[rtuszyns]

W przypadku c) można zastosować wzory Cardano.

[matematyk1995]

Ja to zrobiłbym tak:
\(\displaystyle{ x^3-(m-2)x+2=0}\)
Dla \(\displaystyle{ x=0}\) mam \(\displaystyle{ 2=0}\) - sprzeczność czyli O rozwiazań
Dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{x^3+2}{x}=m-2}\)

Narysuj lewą stronę i sczytaj jak jest z rozwiązaniami.
Nie mam innego pomysłu

[asia7725]

a czy w b miało wyjść żę \(\displaystyle{ x _{1} =-2}\) a \(\displaystyle{ x _{2}=3}\)?

[matematyk1995]

Tak.

[a4karo]

c) oblicz w których punktach ta funkcja ma ekstrema lokalne i jakie wartości w tych punktach przyjmuje. Znaki tych wartości powiedzą Ci ile jest pierwiastków.