pierwiastki wielomianu

asia7725 · Post autor: **asia7725** » 30 gru 2013, o 16:40

Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+2ax^{2}+bx-6}\)
a)oblicz pierwiastki tego wielomianu dla a=3 i b=-2
b)pierwiastkami tego wielomianu są liczby 1 i 2. Oblicz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
c)Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ W(x) \ge 0}\) dla a =3 i b=-2

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 30 gru 2013, o 16:47

a) Podstaw pod a i b i z tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu.
b) Policz W(1) i W(2) i wyznaczysz wtedy wartości a i b. Pózniej Z postaci iloczynowej wielomianu.
c) Zapisz wielomian w postaci iloczynowej i narysuj przybliżony wykres z dokładnością do miejsc zerowych.

asia7725 · Post autor: **asia7725** » 30 gru 2013, o 16:53

a) podstawiłam te wartości i wyszła mi taka funkcja: \(\displaystyle{ x^{3}+6x^{2}-2x-6}\) ale jej pierwiastki są niewymierne i nie umiem ich znaleźć ..
b) a=-3 a b=11 czy to jest dobrze?

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 30 gru 2013, o 17:08

a) Faktycznie. Na pewno dobrze przepisałaś?
b) Dobrze.

asia7725 · Post autor: **asia7725** » 30 gru 2013, o 17:12

przepisane jest dobrze

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 30 gru 2013, o 17:20

To dziwne. Zazwyczaj jest co najmniej jeden wymierny w przypadku wielomianu stopnia \(\displaystyle{ 3}\).

asia7725 · Post autor: **asia7725** » 30 gru 2013, o 17:24

to da się obliczyć te pierwiastki??

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 30 gru 2013, o 17:29

Wzory Viete'a dla równań 3 stopnia.

asia7725 · Post autor: **asia7725** » 30 gru 2013, o 17:33

A mógłbyś mi pokazać jak?

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 30 gru 2013, o 17:36

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1x_2x_3=6 \\x_1+x_2+x_3=-6 \\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-2 \end{cases}}\)
Ale nie wiem czy już nie prościej z

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node127.html

asia7725 · Post autor: **asia7725** » 30 gru 2013, o 17:45

\(\displaystyle{ \begin{cases}x_1x_2x_3=6 \\x_1+x_2+x_3=-6 \\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-2 \end{cases}}\)

ale jak z tego mam obliczyć pierwiastki?

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 30 gru 2013, o 17:48

Trzeba to rozwiązać. Dużo licznie strasznie. Może ktoś inny ma lepszy pomysł.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 31 gru 2013, o 09:21

Można albo podstawieniami zejśc do równania kwadratowego
albo do wzoru na funkcje trygonometryczne kąta potrojonego

Podstawienia

\(\displaystyle{ x=u+v-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\
x=u-\frac{W^{\prime}\left(-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)}{3a_{3}u}-\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)

\(\displaystyle{ x=u\cos{\left( \theta\right) }-\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)

gdzie \(\displaystyle{ u}\) wyznaczamy tak aby równanie przybrało postac wzoru na
cosinus kąta potrojonego

matematyk1995 · Post autor: **matematyk1995** » 31 gru 2013, o 11:07

A można to "ugryźć" jakoś z pochodnych? Czy tylko w grę wchodzę te sposoby podane wyżej.
Mi się wydaje, że raczej pochodna \(\displaystyle{ W(x)}\) nic nie pomoże, ale mogę się mylić.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 31 gru 2013, o 23:48

Jak chcesz liczyc dokładnie to pochodna pomoże znaleźc wpółczynniki przedstawienia
wielomianu w postaci sumy potęg dwumianu (wzór Taylora)
Dodatkowo z dwumianu Newtona wiesz że jak weźmiesz dwumian \(\displaystyle{ \left( x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)}\) to pozbędziesz się wyrazu \(\displaystyle{ \left( x+\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right)^2}\)
Jeżeli chcesz numerycznie to pochodna też może pomóc
(najpierw usuwasz pierwiastki wielokrotne licząc \(\displaystyle{ \gcd{\left( W\left( x\right),W^{\prime}\left( x\right) \right) }}\))
a następnie używasz wzoru iteracyjnego
\(\displaystyle{ x_{i+1}=x_{i}-\frac{W\left(x_{i}\right)}{W^{\prime}\left( x_{i}\right) }}\)

Wymyślic można wiecej (ale wszystko prowadzi do tego samego)

Porównujesz wielomian z sumą bądź różnicą sześcianów dwóch funkcji liniowych
Zapisujesz układ równań z którego łatwo obliczyc pierwiastki
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+\varepsilon x_{2}+\varepsilon^2 x_{3}=u_{1} \\ x_{1}+\varepsilon^2 x_{2}+\varepsilon x_{3}=u_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{a_{2}}{3a_{3}} \end{cases}\\
\begin{cases} \varepsilon^2+\varepsilon+1=0 \\ \varepsilon^3=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \left(u-u_{1} \right)\left( u-\varepsilon u_{1}\right)\left( u-\varepsilon^2 u_{1}\right)\left(u-u_{2} \right)\left( u-\varepsilon u_{2}\right)\left( u-\varepsilon^2 u_{2}\right)=0}\)

Współczynniki tego równania są wielomianami symetryczymi pierwiastków wyjściowego
równania zatem można je wyrazic za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych
a następnie za pomocą współczynników równania trzeciego stopnia

Możesz też po sprowadzeniu równania trzeciego stopnia do postaci
\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)
przenieśc składnik liniowy na drugą stronę
a następnie wprowadzic nową niewiadomą (tak aby lewa strona nadal była sześcianem)
i wyrugowac \(\displaystyle{ y}\) z prawej strony równania
W ten sposób łatwo znajdziesz jeden pierwiastek
Pozostałe znajdujesz używając dzielenia

Z tego co napisał ten gładki przydatne jest to na końcu
Jeśli chcesz użyc tego podstawienia to uważaj na zerowe pierwiastki
oraz poczytaj trochę o zespolonych

matematyk1995, gdybyś chciał uogólnic te podstawienia/metody
na równanie czwartego stopnia to jedynie z podstawieniem trygonometrycznym
oraz z podstawieniem proponowanym przez gładkiego mógłbyś miec kłopoty
Podstawowe wiadomości o zespolonych będą wtedy przydatne