suma kwadratów pierwiastków

[wojteczek03]

Wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x^{3}+( \sqrt{2}+ \sqrt{3}+ \sqrt{5}) x^{2} +( \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{15})x+ \sqrt{30}}\) ma trzy pierwiastki rzeczywiste. Oblicz sumę kwadratów pierwiastków tego wielomianu.

[Ania221]

Można sie domyślić, że te pierwiastki rzeczywisteto będą \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) dodatnie lub ujemne, i wykazać, że faktycznie takie są.

[Kaf]

Ewentualnie Ci, którym zgadywanie nie wychodzi, mogą zastosować wzory Viete'a.

[rafalpw]

\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2+x_3^2=\left( x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left( x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3\right)=\left( \frac{-b}{a} \right)^2-2 \left( \frac{c}{a}\right)}\).

[Kaf]

Miło, że nie jestem jedynym, który nie lubi zgadywać . Zważając na fakt, iż \(\displaystyle{ a=1}\) szukana wartość upraszcza się do \(\displaystyle{ b^2-2c}\).