Wielomiany jako specyficzna klasa funkcji mają pewne własności właściwe tylko wielomianom. Więc trudno się dziwić, że w tym przypadku więcej wiemy o stycznych itp. Wielomiany są modelowe. To nimi aproksymujemy funkcje ciągłe, na nich opierają się funkcje sklejane i interpolacja za ich pomocą. To obecnie podstawowe narzędzie w grafice inżynierskiej, projektowaniu. Wielomiany i spliny (funkcje sklejane) mają modelowe własności numeryczne - dobrze się na nich liczy.
Można też mówić o zerach wielokrotnych funkcji. Mianowicie, zakładając odpowiednią regularność powiemy, że \(\displaystyle{ a}\) jest zerem dwukrotnym funkcji \(\displaystyle{ f}\), jeśli \(\displaystyle{ f(a)=f'(a)=0}\) oraz \(\displaystyle{ f''(a)\ne 0}\). Podobnie dla zer wyższych rzędów. Oznacza to mniej więcej tyle, że rozwinięcie Taylora w punkcie \(\displaystyle{ a}\) zaczyna się na drugiej pochodnej:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\dots}\).
Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\), rozwinięcie Taylora kończy się na pochodnej rzędu \(\displaystyle{ n}\) i dostaniemy w szczególności
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n}\).
Wyciągamy przed nawias \(\displaystyle{ (x-a)^2}\) i co dostajemy?
\(\displaystyle{ f(x)=(x-a)^2\left(f''(a)+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n-2}\right)}\).
A to przecież fakt, że w rozkładzie na czynniki \(\displaystyle{ x-a}\) występuje z kwadratem.