własności funkcji

ziomalok19 · Post autor: **ziomalok19** » 27 gru 2013, o 14:39

Witam! Mam zadanie z pozoru proste ale musze byc pewny odpowiedzi.
Rozwiązać nierównosć \(\displaystyle{ 3x ^{5}-(x ^{2} +4x-3) ^{6}+9 < 3x ^{5}- (3x+3) ^{6} +9}\) i podać z jakich własności jakich funkcji korzystamy.
Może ktoś wie ?
Doszedłem do momentu: \(\displaystyle{ (x ^{2}+4x-3) ^{6} > (3x+3)^{6}}\)
Tu trzeba pozbyć się tej potęgi z tym że o chyba tu korzystamy z monotoniczności?
Wiadomo końcowy wynik wyjdzie \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-3) \cup (2, \infty )}\)

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 27 gru 2013, o 15:10

Taki wynik? Sprawdź \(\displaystyle{ -5}\).

ziomalok19 · Post autor: **ziomalok19** » 27 gru 2013, o 16:55

No ok więc może mi ktos wytłumaczyc co zrobić po tym : \(\displaystyle{ (x ^{2}+4x-3) ^{6} > (3x+3)^{6}}\). Prawa strona to funkcja liniowa, rosnąca a to po lewej to kwadratowa gdzie wykresem bedzie parabola.

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 29 gru 2013, o 14:28

Wydaje mi się, że jeżeli potęgi są parzyste to zachodzi:

\(\displaystyle{ (x ^{2}+4x-3) ^{6} > (3x+3)^{6} \Rightarrow (x ^{2}+4x-3) ^{2} > (3x+3)^{2}}\)

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 29 gru 2013, o 14:32

mortan517 pisze:Wydaje mi się, że jeżeli potęgi są parzyste to zachodzi:

\(\displaystyle{ (x ^{2}+4x-3) ^{6} > (3x+3)^{6} \Rightarrow (x ^{2}+4x-3) ^{2} > (3x+3)^{2}}\)

Zachodzi i nawet tam jest wtedy i tylko wtedy. Wynika to z tego, że funkcja \(\displaystyle{ x^k}\) , gdzie \(\displaystyle{ k>0}\) jest nieparzyste jest ściśle rosnąca na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

ziomalok19 · Post autor: **ziomalok19** » 29 gru 2013, o 15:52

To trzeba to teraz wyliczyć ? \(\displaystyle{ (x ^{2}+4x-3) ^{2} > (3x+3)^{2}}\) Bo jeśli tak to wychodzi cos z czego delty nie oblicze

mortan517 · Post autor: **mortan517** » 29 gru 2013, o 16:03

Wszystko na jedna stronę i wzór na różnicę kwadratów

ziomalok19 · Post autor: **ziomalok19** » 29 gru 2013, o 16:22

Od razu zastosowałem wzory i przeniosłem i wyszło \(\displaystyle{ x ^{4} +8x ^{3}+x ^{2} -42 > 0}\). Tylko co z tym zrobić ?

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 29 gru 2013, o 16:36

Niepotrzebnie wymnażałeś, bo jak się rozwiązuje nierówności wielomianowe sprowadza się do postaci iloczynowej.

ziomalok19 · Post autor: **ziomalok19** » 29 gru 2013, o 16:44

No to innym sposobem wyjdzie \(\displaystyle{ (x ^{2}+7x)(x ^{2}+x-6 )}\) I teraz rozwiązac dla tych 2 rownan ?

Wyszloby wtedy ze \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-7) \cup (2, \infty )}\)

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 29 gru 2013, o 16:54

\(\displaystyle{ (x ^{2}+7x)(x ^{2}+x-6 )=x\left( x+7\right)\left( x+3\right)\left( x-2\right) >0}\)

Taką nierówność się rozwiązuje na podstawie wykresu.

ziomalok19 · Post autor: **ziomalok19** » 29 gru 2013, o 18:30

OK, mniejsza z tym wynikiem, musze napisac podać z jakich własności jakich funkcji trzeba skorzystać. Co mam napisac ? To że potęga jest parzysta to ...

rafalpw · Post autor: **rafalpw** » 29 gru 2013, o 18:33

rafalpw pisze:
mortan517 pisze:Wydaje mi się, że jeżeli potęgi są parzyste to zachodzi:

\(\displaystyle{ (x ^{2}+4x-3) ^{6} > (3x+3)^{6} \Rightarrow (x ^{2}+4x-3) ^{2} > (3x+3)^{2}}\)
Zachodzi i nawet tam jest wtedy i tylko wtedy. Wynika to z tego, że funkcja \(\displaystyle{ x^k}\) , gdzie \(\displaystyle{ k>0}\) jest nieparzyste jest ściśle rosnąca na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).