Witam, mam zadanie w które podobno da się zrobić z Bazy Lagrange'a. Chciałbym poznać metodę Bazy Lagrange'a (czy tam jakiś wielomianów interpolacyjnych). A przy okazji proszę o rozwiązanie tego zadania:
Niech \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie takim wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\), że:
\(\displaystyle{ f(k)= \frac{k}{k+1}}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,...,n}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ f(n+1)}\).
Wielomian interpolacyjny
Wielomian interpolacyjny
Uwaga po napisaniu posta
Właśnie zobaczyłem Twój wiek. Ale i część Forum, gdzie jesteś najaktywniejszy. Tak więc zostawiam co napisałem, choć to znacznie wykracza poza materiał szkoły, a i na uczelni nie zawsze się tego uczy. W razie pytań jestem otwarty na rozmowę. Zastanowię się też nad prostym rozwiązaniem nie odwołującym się do analizy numerycznej.
No to start
Bazą Lagrange'a na węzłach \(\displaystyle{ x_1,\dots x_n}\) są wielomiany podstawowe Lagrange'a. Niech \(\displaystyle{ P_n(x)=(x-x_1)\cdot\ldots\cdot(x-x_n)}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n}\) określamy wielomiany podstawowe Lagrange'a wzorami
\(\displaystyle{ \ell_k(x)=\frac{P_n(x)}{(x-x_k)P_n'(x_k)}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \ell_k(x)=\frac{(x-x_1)\cdot\ldots\cdot(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdot\ldots\cdot(x-x_n)}
{(x_k-x_1)\cdot\ldots\cdot(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdot\ldots\cdot(x_k-x_n)}.}\)
Wielomian Lagrange'a przyjmujący w węzłach \(\displaystyle{ x_k}\) wartości \(\displaystyle{ y_k}\) (dla \(\displaystyle{ k=1,
\dots,n}\)) ma postać
\(\displaystyle{ w(x)=\sum_{k=1}^n y_k\ell_k(x)}\)
Interpolacja Lagrange'a ma pewną zaletę - wystarczy na danych węzłach raz wyznaczyć wielomiany podstawowe i można sobie wszystko interpolować. Ma też pewne wady. Ale co ich nie ma...
Co do właściwego zadania - mając \(\displaystyle{ n+1}\) węzłów i wartości wystarczy napisać wielomian (np. wg wzoru Lagrange'a) przyjmujący w tych węzłach te wartości. Ponieważ wielomian ten jest dokładnie jeden, liczymy łatwo \(\displaystyle{ f(n+1)}\). Są w analizie numerycznej wzory na wielomiany Lagrange'a na węzłach równo rozłożonych. Mają one dość prostą postać. Ale nie będę o tym mówił. Sam próbowałbym stosować wzór Newtona (zobacz też związane z nim moje wykłady https://www.matematyka.pl/269333.htm oraz http://www.matematyka.pl/269340.htm). Ilorazy różnicowe na węzłach równo rozłożonych też mają piękną postać.
Właśnie zobaczyłem Twój wiek. Ale i część Forum, gdzie jesteś najaktywniejszy. Tak więc zostawiam co napisałem, choć to znacznie wykracza poza materiał szkoły, a i na uczelni nie zawsze się tego uczy. W razie pytań jestem otwarty na rozmowę. Zastanowię się też nad prostym rozwiązaniem nie odwołującym się do analizy numerycznej.
No to start
Bazą Lagrange'a na węzłach \(\displaystyle{ x_1,\dots x_n}\) są wielomiany podstawowe Lagrange'a. Niech \(\displaystyle{ P_n(x)=(x-x_1)\cdot\ldots\cdot(x-x_n)}\). Wtedy dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n}\) określamy wielomiany podstawowe Lagrange'a wzorami
\(\displaystyle{ \ell_k(x)=\frac{P_n(x)}{(x-x_k)P_n'(x_k)}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \ell_k(x)=\frac{(x-x_1)\cdot\ldots\cdot(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\cdot\ldots\cdot(x-x_n)}
{(x_k-x_1)\cdot\ldots\cdot(x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdot\ldots\cdot(x_k-x_n)}.}\)
Wielomian Lagrange'a przyjmujący w węzłach \(\displaystyle{ x_k}\) wartości \(\displaystyle{ y_k}\) (dla \(\displaystyle{ k=1,
\dots,n}\)) ma postać
\(\displaystyle{ w(x)=\sum_{k=1}^n y_k\ell_k(x)}\)
Interpolacja Lagrange'a ma pewną zaletę - wystarczy na danych węzłach raz wyznaczyć wielomiany podstawowe i można sobie wszystko interpolować. Ma też pewne wady. Ale co ich nie ma...
Co do właściwego zadania - mając \(\displaystyle{ n+1}\) węzłów i wartości wystarczy napisać wielomian (np. wg wzoru Lagrange'a) przyjmujący w tych węzłach te wartości. Ponieważ wielomian ten jest dokładnie jeden, liczymy łatwo \(\displaystyle{ f(n+1)}\). Są w analizie numerycznej wzory na wielomiany Lagrange'a na węzłach równo rozłożonych. Mają one dość prostą postać. Ale nie będę o tym mówił. Sam próbowałbym stosować wzór Newtona (zobacz też związane z nim moje wykłady https://www.matematyka.pl/269333.htm oraz http://www.matematyka.pl/269340.htm). Ilorazy różnicowe na węzłach równo rozłożonych też mają piękną postać.
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 4 razy
Wielomian interpolacyjny
Wydaje mi się, że metoda Bazy Lagrange'a jest dość nie najlepszą metodą. Z moich obliczeń wychodzi mi mniej więcej coś takiego:
\(\displaystyle{ f(n+1)= \sum_{i=0}^{n}\left( \frac{i}{i+1} \right) \cdot \left[ \frac{{n+1 \choose i}}{ (-1)^{n+1-i} } \right]}\)
Nie wiem jak to uprościć teraz.
Natomiast biorąc wielomian pomocniczy \(\displaystyle{ g(x)=f(x) \cdot (x+1)-x}\) bardzo szybko dochodzę do wyniku. Czy pomyliłem się w obliczeniach? Bo wynik który napisałem powyżej chyba nie zadowoliłby oceniającego pracę. Proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ f(n+1)= \sum_{i=0}^{n}\left( \frac{i}{i+1} \right) \cdot \left[ \frac{{n+1 \choose i}}{ (-1)^{n+1-i} } \right]}\)
Nie wiem jak to uprościć teraz.
Natomiast biorąc wielomian pomocniczy \(\displaystyle{ g(x)=f(x) \cdot (x+1)-x}\) bardzo szybko dochodzę do wyniku. Czy pomyliłem się w obliczeniach? Bo wynik który napisałem powyżej chyba nie zadowoliłby oceniającego pracę. Proszę o pomoc.
Wielomian interpolacyjny
I jaki jest ten wynik? Podaj swoje rozumowanie. Pomysł z tym wielomianem pomocniczym jest bardzo ładny. Wielomian \(\displaystyle{ g}\) ma stopień co najwyżej \(\displaystyle{ n+1}\) oraz \(\displaystyle{ n+1}\) zer w punktach \(\displaystyle{ 0,1,\dots,n}\). Tak więc warunki interpolacyjne nie wyznaczają go jednoznacznie. Ale mamy też trywialnie \(\displaystyle{ g(-1)=1}\), więc jest dodatkowy warunek wyznaczający \(\displaystyle{ g}\) już jednoznacznie. Jak z niego korzystasz? Powiem tylko, że istotnie, to klucz do rozwiązania.
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 4 razy
Wielomian interpolacyjny
No miejsca zerowe wielomianu g to 0,1,2,...,n i jest n+1 stopnia więc \(\displaystyle{ g(x)=a \cdot x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (x-n)}\) no i teraz mamy, że \(\displaystyle{ f(x) \cdot (x+1)-x=a \cdot x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (x-n)}\). Podstawiając x=-1 chyba wychodzi \(\displaystyle{ a= \frac{(-1) ^{n+1} }{(n+1)!}}\)
Więc podstawiając a mamy wzór wielomianu(nie chce mi się go wypisywać). I mi wyszło, że \(\displaystyle{ f(n+1)= \frac{n+1+(-1) ^{n+1} }{n+2}}\). Chyba dobrze bo jakiś ładny wynik ale mnie interesuje ta metoda z Bazą Lagrange'a. Czy to co napisałem w poprzednim poście jest dobrze? I jak to się upraszcza?!
Więc podstawiając a mamy wzór wielomianu(nie chce mi się go wypisywać). I mi wyszło, że \(\displaystyle{ f(n+1)= \frac{n+1+(-1) ^{n+1} }{n+2}}\). Chyba dobrze bo jakiś ładny wynik ale mnie interesuje ta metoda z Bazą Lagrange'a. Czy to co napisałem w poprzednim poście jest dobrze? I jak to się upraszcza?!
Wielomian interpolacyjny
Tak - masz rację. Mi nieco pomyliła się liczba warunków. \(\displaystyle{ n+1}\) zer wyznacza wielomian \(\displaystyle{ g}\)jednoznacznie z dokładnością do współczynnika wiodącego. A ja skojarzyłem to z warunkami interpolacyjnymi, których musi być o jeden więcej niż stopnień, co ma inne znaczenie Podobne, ale inne. Bardzo ładny masz pomysł - godne pochwały. A co do bazy Lagrange'a - masz pośrednio wzór na pewną sumę.
Z tą bazą Lagrange'a nie sprawdzałem rachunków. W końcu są Święta i służę na razie głosem doradczym. Ale pewnie masz rację. To kwestia technicznych rachunków.
W analizie numerycznej rozważą się jeszcze takie podejście - często stosowany pomysł. Jeśli masz o jeden węzeł za dużo, to interpolujesz dwa razy: raz powiedzmy w \(\displaystyle{ x_0,\dots,x_n}\), a potem w \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_{n+1}}\) za każdym razem z jedyności wielomianu dostając to samo. I potem wyciąga się wnioski. Ale to pewna luźna uwaga.
Z tą bazą Lagrange'a nie sprawdzałem rachunków. W końcu są Święta i służę na razie głosem doradczym. Ale pewnie masz rację. To kwestia technicznych rachunków.
W analizie numerycznej rozważą się jeszcze takie podejście - często stosowany pomysł. Jeśli masz o jeden węzeł za dużo, to interpolujesz dwa razy: raz powiedzmy w \(\displaystyle{ x_0,\dots,x_n}\), a potem w \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_{n+1}}\) za każdym razem z jedyności wielomianu dostając to samo. I potem wyciąga się wnioski. Ale to pewna luźna uwaga.