równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki
- Fritillaria
- Użytkownik
- Posty: 259
- Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 6 razy
równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m ( m \in R)}\) równanie \(\displaystyle{ x^4-2mx^2=m^2-4}\) ma trzy różne rozwiązania?
Podstawiam zmienną, za \(\displaystyle{ x^2}\) Stawiam warunki:
\(\displaystyle{ a \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta >0}\)
\(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2}>0}\)
\(\displaystyle{ t _{1} + t _{2}>0}\)
Nie wiem jak dalej postawić warunki, by równanie miało tylko 3 pierwiastki. Proszę o pomoc!
Podstawiam zmienną, za \(\displaystyle{ x^2}\) Stawiam warunki:
\(\displaystyle{ a \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta >0}\)
\(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2}>0}\)
\(\displaystyle{ t _{1} + t _{2}>0}\)
Nie wiem jak dalej postawić warunki, by równanie miało tylko 3 pierwiastki. Proszę o pomoc!
Ostatnio zmieniony 23 gru 2013, o 15:29 przez Fritillaria, łącznie zmieniany 1 raz.
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki
Równanie dwukwadratowe ma trzy pierwiastki, gdy równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek dodatni, a drugi równy zero.
- Fritillaria
- Użytkownik
- Posty: 259
- Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 6 razy
równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki
Dopiszę warunek \(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2} =0}\) i będzie ok?
Nie wiem jeszcze jak postawić warunek na to, by pierwiastki były różne.
Nie wiem jeszcze jak postawić warunek na to, by pierwiastki były różne.
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki
Będzie ok, ale wtedy nie będzie warunku:
\(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2} >0}\)
Może te warunki które są wystarczą. Jakie wychodzą ci \(\displaystyle{ m}\)?
\(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2} >0}\)
Może te warunki które są wystarczą. Jakie wychodzą ci \(\displaystyle{ m}\)?
- Fritillaria
- Użytkownik
- Posty: 259
- Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 6 razy
równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki
Ostateczne \(\displaystyle{ m=2}\) i ono ma 3 różne pierwiastki jak się podstawi. Ale zastanawiam się, co trzeba zrobić, gdyby nie miało, jakie wtedy warunki?
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki
Jeśli jest to równanie dwukwadratowe i ma mieć \(\displaystyle{ 3}\) pierwiastki to musi być ono postaci
\(\displaystyle{ x^2(x^2-p)}\)
Więc zawsze będą \(\displaystyle{ 3}\) różne, chyba że \(\displaystyle{ p=0}\), ale wtedy równanie wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ x^4=0}\), a widać, że tak nie może być.
edit
//napisałem to, ale jak to teraz czytam to raczej chyba nie jest dobrze xd
edit 2
gdyby było innej postaci, tzn.
\(\displaystyle{ x^2(x^2 +qx +p)=x^4 +qx^3 +px^2}\)
W naszym przypadku byłoby \(\displaystyle{ q=0}\) oraz zerowałoby się \(\displaystyle{ m^2-4}\), więc jednak jest wszystko ok i muszą być różne.
\(\displaystyle{ x^2(x^2-p)}\)
Więc zawsze będą \(\displaystyle{ 3}\) różne, chyba że \(\displaystyle{ p=0}\), ale wtedy równanie wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ x^4=0}\), a widać, że tak nie może być.
edit
//napisałem to, ale jak to teraz czytam to raczej chyba nie jest dobrze xd
edit 2
gdyby było innej postaci, tzn.
\(\displaystyle{ x^2(x^2 +qx +p)=x^4 +qx^3 +px^2}\)
W naszym przypadku byłoby \(\displaystyle{ q=0}\) oraz zerowałoby się \(\displaystyle{ m^2-4}\), więc jednak jest wszystko ok i muszą być różne.
- Fritillaria
- Użytkownik
- Posty: 259
- Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 6 razy
równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki
Dziękuję bardzo!
Bo ewentualnie można sprawdzać te parametry które wychodzą przez podstawienie do równania, ale dużo liczenia z tym..
To jeszcze jedno pytanie, gdyby w treści zadania zamienić na:
\(\displaystyle{ 1^o}\) "cztery różne pierwiastki", to te warunki, które podałam w pierwszym poście (pytaniu) są ok?
\(\displaystyle{ 2^o}\) "dwa różne pierwiastki", to delta musi równać się zero i \(\displaystyle{ t>0}\)?
Bo ewentualnie można sprawdzać te parametry które wychodzą przez podstawienie do równania, ale dużo liczenia z tym..
To jeszcze jedno pytanie, gdyby w treści zadania zamienić na:
\(\displaystyle{ 1^o}\) "cztery różne pierwiastki", to te warunki, które podałam w pierwszym poście (pytaniu) są ok?
\(\displaystyle{ 2^o}\) "dwa różne pierwiastki", to delta musi równać się zero i \(\displaystyle{ t>0}\)?
- mortan517
- Użytkownik
- Posty: 3359
- Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krk
- Podziękował: 112 razy
- Pomógł: 662 razy
równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki
1. Tak.
2. Tutaj chyba będzie więcej warunków, bo możemy mieć
\(\displaystyle{ \Delta = 0 \wedge t>0}\)
lub
\(\displaystyle{ \Delta >0 \wedge t _{1} \cdot t _{2}<0}\)
2. Tutaj chyba będzie więcej warunków, bo możemy mieć
\(\displaystyle{ \Delta = 0 \wedge t>0}\)
lub
\(\displaystyle{ \Delta >0 \wedge t _{1} \cdot t _{2}<0}\)
- Fritillaria
- Użytkownik
- Posty: 259
- Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 128 razy
- Pomógł: 6 razy