równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Fritillaria
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 6 razy

równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki

Post autor: Fritillaria »

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m ( m \in R)}\) równanie \(\displaystyle{ x^4-2mx^2=m^2-4}\) ma trzy różne rozwiązania?

Podstawiam zmienną, za \(\displaystyle{ x^2}\) Stawiam warunki:
\(\displaystyle{ a \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta >0}\)
\(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2}>0}\)
\(\displaystyle{ t _{1} + t _{2}>0}\)

Nie wiem jak dalej postawić warunki, by równanie miało tylko 3 pierwiastki. Proszę o pomoc!
Ostatnio zmieniony 23 gru 2013, o 15:29 przez Fritillaria, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki

Post autor: mortan517 »

Równanie dwukwadratowe ma trzy pierwiastki, gdy równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek dodatni, a drugi równy zero.
Awatar użytkownika
Fritillaria
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 6 razy

równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki

Post autor: Fritillaria »

Dopiszę warunek \(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2} =0}\) i będzie ok?

Nie wiem jeszcze jak postawić warunek na to, by pierwiastki były różne.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki

Post autor: mortan517 »

Będzie ok, ale wtedy nie będzie warunku:
\(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2} >0}\)

Może te warunki które są wystarczą. Jakie wychodzą ci \(\displaystyle{ m}\)?
Awatar użytkownika
Fritillaria
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 6 razy

równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki

Post autor: Fritillaria »

Ostateczne \(\displaystyle{ m=2}\) i ono ma 3 różne pierwiastki jak się podstawi. Ale zastanawiam się, co trzeba zrobić, gdyby nie miało, jakie wtedy warunki?
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki

Post autor: mortan517 »

Jeśli jest to równanie dwukwadratowe i ma mieć \(\displaystyle{ 3}\) pierwiastki to musi być ono postaci
\(\displaystyle{ x^2(x^2-p)}\)

Więc zawsze będą \(\displaystyle{ 3}\) różne, chyba że \(\displaystyle{ p=0}\), ale wtedy równanie wyglądałoby tak:
\(\displaystyle{ x^4=0}\), a widać, że tak nie może być.

edit
//napisałem to, ale jak to teraz czytam to raczej chyba nie jest dobrze xd

edit 2
gdyby było innej postaci, tzn.
\(\displaystyle{ x^2(x^2 +qx +p)=x^4 +qx^3 +px^2}\)

W naszym przypadku byłoby \(\displaystyle{ q=0}\) oraz zerowałoby się \(\displaystyle{ m^2-4}\), więc jednak jest wszystko ok i muszą być różne.
Awatar użytkownika
Fritillaria
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 6 razy

równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki

Post autor: Fritillaria »

Dziękuję bardzo!

Bo ewentualnie można sprawdzać te parametry które wychodzą przez podstawienie do równania, ale dużo liczenia z tym..

To jeszcze jedno pytanie, gdyby w treści zadania zamienić na:
\(\displaystyle{ 1^o}\) "cztery różne pierwiastki", to te warunki, które podałam w pierwszym poście (pytaniu) są ok?
\(\displaystyle{ 2^o}\) "dwa różne pierwiastki", to delta musi równać się zero i \(\displaystyle{ t>0}\)?
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki

Post autor: mortan517 »

1. Tak.
2. Tutaj chyba będzie więcej warunków, bo możemy mieć
\(\displaystyle{ \Delta = 0 \wedge t>0}\)
lub
\(\displaystyle{ \Delta >0 \wedge t _{1} \cdot t _{2}<0}\)
Awatar użytkownika
Fritillaria
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 17 lut 2013, o 16:51
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 6 razy

równanie dwukwadratowe z parametrem, 3 różne pierwiastki

Post autor: Fritillaria »

Fakt. Bardzo, bardzo dziękuję Ci za pomoc!
ODPOWIEDZ