współczynniki wielomianu tworzące ciąg arytmetyczny

[metalknight]

Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) istnieje ciąg arytmetyczny \(\displaystyle{ a_0,...,a_{2n}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_i}\) są wszystkie całkowite \(\displaystyle{ >0}\) i takie, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_{k}x^k+...+a_1x+a_0}\) nie ma pierwiastka rzeczywistego.

[Vax]

Wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ a_i=i+1}\)

czemu?:    

\(\displaystyle{ (2n+1)x^{2n}+2nx^{2n-1}+...+3x^2+2x+1 = \\ \\ = (x+1)^2+2x^2(x+1)^2+3x^4(x+1)^2+...+nx^{2n-2}(x+1)^2+(n+1)x^{2n} > 0}\)

[a4karo]

albo \(\displaystyle{ a_i=1}\)

[M Ciesielski]

Problem w tym, że te wykładniki to nie kolejne liczby parzyste, spójrzcie na drugi wykładnik od lewej. Gdyby tak było to nie ma czego dowodzić .

[a4karo]

Ktoś gdzieś pisał o kolejnych liczbach parzystych????

[M Ciesielski]

Ups, źle spojrzałem, nie ważne. Przy okazji - jeden pytajnik wystarczy, nie spinaj się.