współczynniki wielomianu

[metalknight]

Niech \(\displaystyle{ W(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_{k}x^k+...+a_1x+a_0}\) będzie wielomianem, niemającym pierwiastka rzeczywistego i o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ >0}\), tworzących ciąg arytmetyczny w kolejności \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_k,...,a_{2n-1},a_{2n}}\). Czy można znaleźć analogiczny układ współczynników \(\displaystyle{ b_0,b_1,...,b_k,...,b_{2n-1},b_{2n}}\) dla tego wielomianu tak, aby nie był on permutacją \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_k,...,a_{2n-1}.a_{2n}}\)?

[Ponewor]

Możesz doprecyzować jakie warunki ma spełniać nowy układ współczynników?

[metalknight]

\(\displaystyle{ b_0,b_1,...,b_k,...,b_{2n-1},b_{2n}}\) są wszystkie całkowite \(\displaystyle{ >0}\), tworzą ciąg arytmetyczny w kolejności \(\displaystyle{ b_0,b_1,...,b_k,...,b_{2n-1},b_{2n}}\) i takie, że wielomian \(\displaystyle{ P(x)=b_{2n}x^{2n}+b_{2n-1}x^{2n-1}+...+b_kx^k+...b_1x+b_0}\) nie ma pierwiastka rzeczywistego

Po prostu chodzi o to, czy układ \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_{2n}}\) spełniający podane warunki jest jedyny, z dokładnością do permutacji.

[a4karo]

Układ nie jest jedyny. Kontrprzykład znajdziesz łatwo już w przypadku \(\displaystyle{ n=2}\)

[metalknight]

Ale nie wiemy czy \(\displaystyle{ n=2}\). Co w pozostałych przypadkach?

[a4karo]

Pytanie jest takie: czy jeżeli \(\displaystyle{ a_{2n},\dots,a_0}\) zachodzi twierdzenie \(\displaystyle{ p}\), po czy takie współczynniki są jedyne. Żeby wykazać, że to zdanie jest nieprawdziwe, wystarczy znaleźć kontrprzykład. Znajdziesz go już dla \(\displaystyle{ n=2}\).

Mam nadzieję, że dobrze interpretuję zadania, bo mieszasz pojęcia strasznie...
Pytasz, czy dla \(\displaystyle{ n}\) istnieje jedyny wielomian stopnia \(\displaystyle{ 2n}\), którego współczynniki są naturalne, tworzą ciąg arytmetyczny i który nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Pomyśl nad tym, co naprawdę chcesz udowodnić: jeżeli \(\displaystyle{ W(x)}\) nie ma pierwiastków rzeczywistych, to np. \(\displaystyle{ 3W(x)}\) też ich nie ma.

[metalknight]

Pytanie jest czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) mając układ \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_{2n}}\) spełniający powyższe warunki możemy znaleźć układ \(\displaystyle{ b_0,...,b_{2n}}\), który nie jest permutacją układu \(\displaystyle{ a_0,a_1,...,a_{2n}}\) (i spełnia wcześniej podane warunki).

[a4karo]

No to masz odpowiedz: \(\displaystyle{ b_i=2013a_i}\)