dwukrotny pierwiastek wielomianu
-
metalknight
- Użytkownik
- Posty: 181
- Rejestracja: 20 gru 2013, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 41 razy
dwukrotny pierwiastek wielomianu
Niech \(\displaystyle{ m,n,m>n}\) będą całkowite i dodatnie i takie, że wielomian \(\displaystyle{ w(x)=nx^m-mx^n+1}\) ma wymierny pierwiastek dwukrotny. Czy może być \(\displaystyle{ m-n>1}\)?
-
szw1710
dwukrotny pierwiastek wielomianu
Zastosuj twierdzenie mówiące, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu, to \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem jego pochodnej.
-
frej
dwukrotny pierwiastek wielomianu
Można też zrobić to bardziej na siłę korzystając z tw. o wymiernych pierwiastkach wielomianu i nierówności Bernoulliego.
Z tego twierdzenia wynika, że pierwiastek wieomianu \(\displaystyle{ w}\) jest postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ q|n}\). Podstawiając tę liczbę dostajemy
\(\displaystyle{ w \left( \frac{1}{q} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \frac{n}{q^m}-\frac{m}{q^n}+1=0}\)
\(\displaystyle{ n=mq^{m-n}-q^m=q^{m-n} \left( m-q^n \right)}\)
Pokażemy nie wprost, że \(\displaystyle{ \left| q\right| =1}\). Gdyby było przeciwnie, tzn. \(\displaystyle{ \left| q\right| \ge 2}\), to \(\displaystyle{ q^n}\) musiałoby być dodatnie. Istotnie, jeśli \(\displaystyle{ q^n <0}\), to
\(\displaystyle{ n=\left| q^{m-n} \left( m-q^n \right) \right| = \left| q\right|^{m-n} \left( m+\left| q\right|^n \right) >\left| q\right|^m>\left| q\right|^n \ge 1+n\left( \left| q\right| -1\right)>n}\)
Rozpatrzmy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^\circ \; \; 2m \ge \left| q\right|^n \ge 2^n}\) Wtedy
\(\displaystyle{ \left| \left( q^n-m \right) q^{m-n}\right|\ge 1 \cdot \left| q\right|^{m-n} >1+ \left( \left| q\right|-1 \right) \left( m-n \right) \ge 1+2 \left( m-n \right) >1+2^n-2n\ge n}\)
Ostatnia nierówność nie zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\). Ten przypadek łatwo jednak wykluczyć ręcznie, bowiem wtedy musiałby zachodzić\(\displaystyle{ \left| q\right|=2=n}\), tzn. \(\displaystyle{ \left| 4-m\right|2^{m-2}=2}\) skąd \(\displaystyle{ m=3}\), czyli \(\displaystyle{ m-n\le 1}\).
\(\displaystyle{ 2^\circ \; \; 2m < \left| q\right|^n = q^n}\)
W tym przypadku \(\displaystyle{ \left| \left( q^n-m \right) q^{m-n}\right| > \frac{1}{2}q^m > 2^{n-1}\ge n}\)
Pokazaliśmy więc, że \(\displaystyle{ q= \pm 1}\). Jeśli \(\displaystyle{ q=1}\), to \(\displaystyle{ n-m+1=0}\). W przeciwnym przypadku \(\displaystyle{ n \left( -1 \right) ^m-m \left( -1 \right) ^n+1=0}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ 2|n}\), dalej \(\displaystyle{ 2|m}\), więc \(\displaystyle{ 2|1}\) - sprzeczność.
Z tego twierdzenia wynika, że pierwiastek wieomianu \(\displaystyle{ w}\) jest postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ q|n}\). Podstawiając tę liczbę dostajemy
\(\displaystyle{ w \left( \frac{1}{q} \right) =0}\)
\(\displaystyle{ \frac{n}{q^m}-\frac{m}{q^n}+1=0}\)
\(\displaystyle{ n=mq^{m-n}-q^m=q^{m-n} \left( m-q^n \right)}\)
Pokażemy nie wprost, że \(\displaystyle{ \left| q\right| =1}\). Gdyby było przeciwnie, tzn. \(\displaystyle{ \left| q\right| \ge 2}\), to \(\displaystyle{ q^n}\) musiałoby być dodatnie. Istotnie, jeśli \(\displaystyle{ q^n <0}\), to
\(\displaystyle{ n=\left| q^{m-n} \left( m-q^n \right) \right| = \left| q\right|^{m-n} \left( m+\left| q\right|^n \right) >\left| q\right|^m>\left| q\right|^n \ge 1+n\left( \left| q\right| -1\right)>n}\)
Rozpatrzmy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1^\circ \; \; 2m \ge \left| q\right|^n \ge 2^n}\) Wtedy
\(\displaystyle{ \left| \left( q^n-m \right) q^{m-n}\right|\ge 1 \cdot \left| q\right|^{m-n} >1+ \left( \left| q\right|-1 \right) \left( m-n \right) \ge 1+2 \left( m-n \right) >1+2^n-2n\ge n}\)
Ostatnia nierówność nie zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ n=2}\). Ten przypadek łatwo jednak wykluczyć ręcznie, bowiem wtedy musiałby zachodzić\(\displaystyle{ \left| q\right|=2=n}\), tzn. \(\displaystyle{ \left| 4-m\right|2^{m-2}=2}\) skąd \(\displaystyle{ m=3}\), czyli \(\displaystyle{ m-n\le 1}\).
\(\displaystyle{ 2^\circ \; \; 2m < \left| q\right|^n = q^n}\)
W tym przypadku \(\displaystyle{ \left| \left( q^n-m \right) q^{m-n}\right| > \frac{1}{2}q^m > 2^{n-1}\ge n}\)
Pokazaliśmy więc, że \(\displaystyle{ q= \pm 1}\). Jeśli \(\displaystyle{ q=1}\), to \(\displaystyle{ n-m+1=0}\). W przeciwnym przypadku \(\displaystyle{ n \left( -1 \right) ^m-m \left( -1 \right) ^n+1=0}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ 2|n}\), dalej \(\displaystyle{ 2|m}\), więc \(\displaystyle{ 2|1}\) - sprzeczność.