Rozwiąż równanie (rozszerzenie)

[Nimrod]

Witam wszystkich. Mam problem z jednym przykładem.

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ x^{6} + x ^{4} - 17 x^{2} + 15 = 0}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[Ania221]

Równanie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ x=1}\)
Można podzielić wielomian przez \(\displaystyle{ (x-1)}\), otrzymamy wielomian stopnia niższego, którego pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ (-1)}\), znowu podzielić, przez \(\displaystyle{ (x+1)}\)

[Nimrod]

Nie bardzo rozumiem.

Skorzystałem z wypisania dzielników wyrazu wolnego (\(\displaystyle{ 15}\)) i na tej podstawie znalazłem dwa "iksy": \(\displaystyle{ x = -1}\) i \(\displaystyle{ x = 1}\).
Niestety mam problem ze znalezieniem jeszcze \(\displaystyle{ x = \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ x = -\sqrt{3}}\), ponieważ w odpowiedziach w moim zbiorze zadań takie wyniki widnieją.

Próbowałem z dzieleniem wielomianu i twierdzeniem Bezout jednak się pogubiłem.
Jeśli zrobiłem coś źle to poprawcie.

[piasek101]

Na początek podstaw \(\displaystyle{ x^2=t}\)

[Ania221]

Po pierwszym dzieleniu powinno wyjść
\(\displaystyle{ (x-1)(x^5+x^4+2x^3+2x^2-15x-15)=0}\)

Po drugim dzieleniu
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x^4+2x^2-15)=0}\)

[AndrzejK]

Podziel ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x-1)}\), następnie przez \(\displaystyle{ (x+1)}\), a na końcu przez \(\displaystyle{ (x^2-3)}\). Otrzymasz go w postaci \(\displaystyle{ (x-1)(x+1)(x^2-3)(x^2+5)=0}\), a stąd już łatwo wyznaczyć pierwiastki.

[Nimrod]

Ok, nie rozumiem ostatniego: dlaczego dzielę na końcu przez \(\displaystyle{ (x ^{2} - 3)}\)?

[mortan517]

Jeżeli w tym równaniu podstawisz sobie zmienną (oczywiście nie musisz, ale tak łatwiej to zobaczyć), to otrzymasz:
\(\displaystyle{ (x^4+2x^2-15)=0 \\ p^2 + 2p -15=0}\)

I rozwiązujesz jak normalne kwadratowe.

[Nimrod]

Nigdy bym na to nie wpadł. Dzięki wielkie wszystkim