Wyznacz współczynniki wielomianu

[Senor de senores]

O wielomianie \(\displaystyle{ W(x)=2x^3+ax^2+bx+c}\) wiadomo, że liczba \(\displaystyle{ 1}\) jest jego pierwiastkiem dwukrotnym oraz, że \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ (x+2)}\) oblicz współczynnik \(\displaystyle{ a,b,c.}\)

Wiadomo: \(\displaystyle{ W(1)=0, W(2)=0}\) itd. Jednak nie wiem z jakiej strony się do tego zabrać. Na pewno jest jakiś myk z informacją o dwukrotnym pierwiastku \(\displaystyle{ 1}\), jednak nie wiem jak ją wykorzystać.

Pomoże ktoś?

Edit:

Czy mogę zapisać ten wielomian w takiej postaci?

\(\displaystyle{ W(x)=2x^3+ax^2+bx+c=2(x-1)^2(x+2)}\)

[piasek101]

Tak możesz.

[Senor de senores]

Zatem:

\(\displaystyle{ W(x)=2x^3+ax^2+bx+c=2(x-1)^2(x+2)=2(x^2-2x+1)(x+2)=(2x^2-4x+2)(x+2)=2x^3-6x+4}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=0 \\ b=-6 \\ c=4 \end{cases}}\)

[piasek101]

I sprawdź czy pierwiastki są takie jak opisane.

[Senor de senores]

\(\displaystyle{ W(x)=2x^3-6x+4 \\
W(1)=2 \cdot 1^3-6 \cdot 1+4=2-6+4=0 \\
W(-2)=2 \cdot (-2)^3-6 \cdot (-2)+4=-16+12+4=0}\)

Jak sprawdzić czy pierwiastek 1 jest dwukrotny?

[piasek101]

Np rozłożyć na czynniki i zobaczyć \(\displaystyle{ (x-1)^2}\)

[edit] Jest ok.

[Senor de senores]

Ok, dzięki za pomoc. Temat do zamknięcia.

[Mariusz M]

Wiadomo: \(\displaystyle{ W(1)=0, W(2)=0}\) itd. Jednak nie wiem z jakiej strony się do tego zabrać. Na pewno jest jakiś myk z informacją o dwukrotnym pierwiastku \(\displaystyle{ 1}\), jednak nie wiem jak ją wykorzystać.

Gdybyś chciał kotynuowac to rozumowanie to musiałbyś policzyc pochodną
(jej pierwiastkiem także jest jedynka)
Dostaniesz wtedy układ równań z którego obliczysz współczynniki
Gdybyś wykorzystał wzory Viete nie musiałbyś wymnażac postaci iloczynowej