Potrzebuję jak najszybciej dowodu nierówności. Proszę również o wytłumaczenie jak to zrobić.
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_{1},...,x_{n}}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x^{3}_{1}+...+x^{3}_{n} \le \frac{1}{n}}\). Dowieść, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ (x^{2}_{1}+2x^{2}_{2}+3x^{2}_{3}+...+nx^{2}_{n})^{3} \le \frac{(n+1)^{2}}{4}}\).
Dowód nierówności
-
Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Dowód nierówności
Z nierówności Holdera:
\(\displaystyle{ (x_1^2+2x_2^2+...+nx_n^2)^3 \le (x_1^3+x_2^3+...+x_n^3)^2(1^3+2^3+..+n^3) \le \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{(n+1)^2}{4}}\)
\(\displaystyle{ (x_1^2+2x_2^2+...+nx_n^2)^3 \le (x_1^3+x_2^3+...+x_n^3)^2(1^3+2^3+..+n^3) \le \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{(n+1)^2}{4}}\)