pierwiastki rówania i parametr

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
umadame
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 14 wrz 2013, o 11:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: krakow
Podziękował: 3 razy

pierwiastki rówania i parametr

Post autor: umadame »

cześć :)

mam do zrobienia zadanie o treści:
zbadaj liczbę pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^3 - (m-2)x+2=0}\) ze względu na parametr m.
wiem że może być najwyżej 3 pierwiastki i są one ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{-2,-1,1,2 \right\}}\)

z góry dzięki za pomoc ;)
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

pierwiastki rówania i parametr

Post autor: chris_f »

Owszem, może być co najwyżej trzy pierwiastki, ale wcale nie muszą on pochodzić z tego zbioru.
Źle interpretujesz twierdzenie o pierwiastkach całkowitych - t twierdzenie mówi:
jeżeli pierwiastki równania o współczynnikach całkowitych są całkowite, to są podzielnikami wyrazu wolnego.
Nie działa to natomiast w ten sposób, że pierwiastki muszą być całkowite i być podzielnikami wyrazu wolnego.
A gdyby \(\displaystyle{ m}\) było równe np. \(\displaystyle{ \frac{1}{\pi}}\) lub inna dziwna liczba? Co więcej nawet gdyby \(\displaystyle{ m}\) było liczbą całkowitą to wcale nie gwarantuje, że pierwiastki będą takimi liczbami.
umadame
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 14 wrz 2013, o 11:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: krakow
Podziękował: 3 razy

pierwiastki rówania i parametr

Post autor: umadame »

Rozumiem. Więc jak się zabrać do tego zadania?
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

pierwiastki rówania i parametr

Post autor: chris_f »

Nie wiem jakich narzędzi możesz użyć. Stosunkowo łatwo idzie z użyciem pochodnej. Ponieważ przy \(\displaystyle{ x^3}\) jest dodatni współczynnik, to możliwy kształt wykresu tej funkcji jest dosyć ograniczony.
Wystarczy licząc pochodną określić liczbę ekstremów (mogą być dwa albo wcale).

Jeżeli będą dwa, to trzeba je wyznaczyć (a to już jest funkcja kwadratowa) i zbadać jakie mają znaki. Wtedy już łatwo określić czy będą trzy pierwiastki (dwa ekstrema mają różne znaki), dwa pierwiastki (jedno z ekstremów jest równe zero) czy będzie jeden pierwiastek (obydwa ekstrema będą miały ten sam znak).
Jeżeli ekstremów nie będzie to funkcja będzie miała tylko jeden pierwiastek.
łatwo to zobaczysz manipulując wykresem wielomianu trzeciego stopnia (te dwa przykładowe kształty są na wykresie, jeden bez ekstremów, drugi z dwoma).

No i teraz spróbuj umieszczać oś \(\displaystyle{ Ox}\) wyżej lub niżej i powinieneś te sytuacje zobaczyć.
gogo_2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 9 wrz 2012, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

pierwiastki rówania i parametr

Post autor: gogo_2 »

Ja bym to graficznie rozwiązał.
Dodaj do obu stron równania wyrażenie z parametrem, otrzymasz: \(\displaystyle{ x^{3}+2=(m-2)x}\).
I teraz oznacz sobie obie strony równania jako dwie funkcje \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}+2}\) i \(\displaystyle{ g(x)=(m-2)x}\)
Wykres \(\displaystyle{ f(x)=x^{3}+2}\) potrafisz narysować, a wykresem \(\displaystyle{ g(x)}\) będzie prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych o współczynniku kierunkowym zależnym od \(\displaystyle{ m}\).
Teraz narysuj sobie kilka takich prostych i zobacz dla jakiego współczynnika kierunkowego ile razy przetnie się z wykresem \(\displaystyle{ f(x)}\).
Zauważ, że prosta \(\displaystyle{ y=3x}\) będzie styczna z wykresem \(\displaystyle{ f(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ (1,3)}\).

EDIT: chris_f, pochodne są fajne, ale takie zadania w liceum muszą się mieć jakiś taki myk, bo nawet w nowej podstawie są tylko podstawy podstaw analizy(zakładam, że autorka jest w liceum).
ODPOWIEDZ