równanie sprzeczne

[Belv]

Dlaczego równanie \(\displaystyle{ |8x ^{3} -1|=x-8x ^{2}}\) jest sprzeczne. Mi wychodzą pierwiastki, ale na pewno popełniam jakiś głupi błąd..

[Vether]

Wartość lewej strony nie może być liczną ujemną, więc prawej także. Rozwiąż nierówność:

\(\displaystyle{ x-8x^2 \ge 0}\)

Rozwiązanie będzie założeniem, które musisz uwzględnić w obliczeniach.

[Qń]

Mi wychodzą pierwiastki, ale na pewno popełniam jakiś głupi błąd..

A jakie pierwiastki Ci wychodzą i jak wygląda Twoje rozumowanie?

Q.

[Belv]

Rozwiązałem, wychodzi \(\displaystyle{ x \in ( \infty ,0 > \cup \left\langle \frac{1}{8} , \infty )}\)

Moje rozumowanie:
I.
\(\displaystyle{ 8x ^{3} - 1=x-8x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 8x ^{3}+8x ^{2} -x-1=0}\)
\(\displaystyle{ (x+1)(8x ^{2} -1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x+1)(2 \sqrt{2} x-1)(2 \sqrt{2} x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\{ -1, \frac{ \sqrt{}2 }{4}, -\frac{ \sqrt{} 2}{4} \right\}}\)
II.
\(\displaystyle{ 8x ^{3} - 1=-x+8x ^{2}}\)
analogicznie.
\(\displaystyle{ (x-1)(8x ^{2} +1)=0}\)
\(\displaystyle{ x \in \left\{ 1\right\}}\)

Ale powinienem wcale tego nie rozwiązywać, bo wartość bezwzględna nie może być mniejsza od 0, tak?

[Qń]

Do wyboru są co najmniej trzy rozumowania:

1. Zastanawiamy się w jakim wypadku możemy opuścić wartość bezwzględną bez zmiany znaku, a w jakim ze zmianą. Czyli:
pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ 8x ^{3} -1\ge 0 \Rightarrow 8x ^{3} -1=x-8x ^{2}}\)
drugi przypadek: \(\displaystyle{ 8x ^{3} -1< 0 \Rightarrow 8x ^{3} -1=-x+8x ^{2}}\)
W tym rozumowaniu należy najpierw rozwiązać wyjściowe nierówności i potem sprawdzić czy rozwiązania danego przypadku są w zbiorze rozwiązań nierówności z danego przypadku.

2. Analiza starożytnych: zakładamy, że \(\displaystyle{ x}\) jest rozwiązaniem i stwierdzamy, że w takim razie musi być \(\displaystyle{ 8x ^{3} -1=x-8x ^{2}}\) lub \(\displaystyle{ 8x ^{3} -1=-x+8x ^{2}}\). W takim rozumowaniu nie trzeba rozwiązywać żadnych nierówności, ale na końcu trzeba sprawdzić czy to co otrzymaliśmy faktycznie jest rozwiązaniem (podstawiając do wyjściowego równania).

3. Można też skorzystać ze sposobu zaproponowanego przez Vethera - wtedy rozumowanie jest jakąś tam kombinacją dwóch poprzednich. Taki pomysł w ogólności jednak nie zawsze jest ułatwieniem.

Q.

[Belv]

Chyba mi się trochę rozjaśniło.

1. Czyli rozwiązuje tak jak to zrobiłem wyżej, a następnie sprawdzam, czy rozwiązania pasują. W tym przykładzie wychodzi \(\displaystyle{ x \ge \frac{1}{2}}\), a w drugim warunku \(\displaystyle{ x \le \frac{1}{2}}\) czyli moje pierwiastki nie pasują do rozwiązania.

2.Tutaj mam pytanie. Wychodzi mi parę pierwiastków, ale daje do sprawdzenia tylko jeden. No i ten jeden nie wychodzi, to nie ma potrzeby sprawdzania pozostałych? Od razu mam zakładać, że równanie jest sprzeczne?

[Qń]

W drugim rozumowaniu musisz sprawdzić wszystkie rozwiązania jakie Ci wyjdą. Te które nie spełniają wyjściowego równania to tzw. pierwiastki fałszywe, a te które spełniają (tu akurat takich nie ma, ale w ogólności mogą być) to faktyczne i wszystkie rozwiązania.

Q.