Wykaż, że (wielomian trzeciego stopnia)

[Espeqer]

Witam. Mam problem ze zrozumieniem oraz wyprowadzeniem dowodu na tego typu zadanie:

Wykaż, że dla dowolnej liczby nieparzystej x wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}+x-1}\) jest liczbą parzystą.

Doszedłem do tego, że \(\displaystyle{ x=2k+1}\). Próbowałem to podstawić itd, ale nie mam pojęcia co dalej bo nie wychodzi \(\displaystyle{ 2k}\). Po podstawieniu mam: \(\displaystyle{ 2(4k^3+8k^2+6k+1)}\), ale przecież nie mam udowodnić, że wielomian jest podzielny przez 2? Nie rozumiem kompletnie, co tu trzeba wykazać.

Z góry dziękuję.

[szw1710]

Jeśli dobrze wykonałeś przekształcenia (nie sprawdzam), to widać stąd, że wartość \(\displaystyle{ W(2k+1)}\) jest liczbą parzystą, bo wyciągnąłeś dwójkę przed nawias. To kończy rozumowanie.

Można też bez liczenia. Potęga liczby nieparzystej jest zawsze nieparzysta. Więc reszta z dzielenia \(\displaystyle{ W(2k+1)}\) przez \(\displaystyle{ 2}\) to \(\displaystyle{ 1+1+1-1=0}\).

[Espeqer]

Rozumiem, tylko ta dwójka oznacza, że wartość wielomianu jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2}\). I stąd mam wnioskować, że liczba parzysta postaci \(\displaystyle{ 2k}\) to taka, która dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\)? Po prostu tyle? Nie trzeba żadnych dodatkowych założeń/rozpisek?

[szw1710]

Odbiję piłkę. No a czemu liczbę nieparzystą zapisałeś w postaci \(\displaystyle{ 2k+1}\)?

[Dilectus]

Hmm... Jeśli argumentem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+x^{2}+x-1}\) ma być liczba nieparzysta, to:

1) \(\displaystyle{ x^{3}}\) jest nieparzyste (warto, żebyś umiał to pokazać)

2) \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest nieparzyste, bo jest iloczynem liczb nieparzystych

3) \(\displaystyle{ x}\) jest nieparzyste (z założenia)

Zatem wyrażenie \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x}\) jest liczbą nieparzystą (jako suma trzech liczb nieparzystych), a pomniejszone o jeden, jest naszym wielomianem \(\displaystyle{ W(x)}\).
A liczba o jeden mniejsza od nieparzystej jest parzysta.

[Espeqer]

Dziękuję za przejrzyste wytłumaczenie. Temat do zamknięcia.