Inne metody oprócz geupowania na rozwiązywanie równań?

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Devilisha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 48
Rejestracja: 30 lis 2013, o 16:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 11 razy

Inne metody oprócz geupowania na rozwiązywanie równań?

Post autor: Devilisha »

Czym oprócz "grupowania" można rozwiązać równania wielomianowe?
Mam tu otóż, takie równanka i nie jestem w stanie zgrupować wyrażeń, w takich sposób, żeby to rozwiązać:

1) \(\displaystyle{ x ^4+x ^3+14x ^2+26x-20=0}\)
2)\(\displaystyle{ x ^3-9x ^2+23x-15=0}\)

Zapewne, nie jestem w stanie dostrzec jakiegoś innego prostego sposobu rozwiązania, więc proszę o w miarę dokładne tłumaczenie (no chyba, że komuś uda sie to zgrupować, to byłabym wdzięczna za pokazanie) ;*
Ostatnio zmieniony 30 lis 2013, o 17:25 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
lukequaint
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 219
Rejestracja: 5 maja 2010, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 75 razy

Inne metody oprócz geupowania na rozwiązywanie równań?

Post autor: lukequaint »

2)
\(\displaystyle{ x^3-9x^2+23x-15 = x^3 - x^2 - 8x^2 + 8x + 15x - 15\\= x^2(x-1) - 8x(x-1) + 15(x-1) = (x-1)(x^2 - 8x + 15)=(x-1)(x-3)(x-5)}\)

edit:
Przykład 1) jest dobrze przepisany? Ten wielomian ma pierwiastki \(\displaystyle{ x \approx -2.1459 \hbox { oraz } x \approx 0.57778}\). Podobny, z \(\displaystyle{ -14}\) przy \(\displaystyle{ x^2}\) ma \(\displaystyle{ -5 \hbox{ i } 2}\).
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Inne metody oprócz geupowania na rozwiązywanie równań?

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ x ^4+x ^3+14x ^2+26x-20=0}\)

Spróbuj zapisac ten wielomian w postaci iloczynu dwóch trójmianów

\(\displaystyle{ \left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right)=x ^4+x ^3+14x ^2+26x-20}\)

Po porównaniu współczynników dostajesz układ równań którego rózwiązanie wymaga rozwiązania równania szóstego stopnia które może byc zredukowane do równania trzeciego stopnia na \(\displaystyle{ y^2}\)
podstawieniem \(\displaystyle{ p=\frac{1}{2}+y}\)

Możesz też na początku przedstawic wielomian \(\displaystyle{ x ^4+x ^3+14x ^2+26x-20=0}\)
w postaci sumy potęg dwumianu \(\displaystyle{ \left( x+\frac{1}{4}\right)}\)
(chociażby przy użyciu schematu Hornera)
Po przedstawieniu wielomianu \(\displaystyle{ x ^4+x ^3+14x ^2+26x-20=0}\)
w postaci sumy potęg dwumianu \(\displaystyle{ \left( x+\frac{1}{4}\right)}\)
porównujesz ten wielomian z iloczynem dwóch trójmianów
\(\displaystyle{ \left( y^2-py+q\right)\left( y^2+py+r\right)=y^{4}+b_{2}y^2+b_{1}y+b_{0}}\)
Układ który dostaniesz jest nieco łatwiejszy do rozwiązania niż ten bez przedstawiania wielomianu
w postaci sumy potęg dwumianu
ODPOWIEDZ