Reszta z dzielenia wielomianu przez wielomian(zespolone)

[Samlor]

Nie wykonując dzieleń wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ P}\) przez wielomian \(\displaystyle{ Q}\), jeżeli

\(\displaystyle{ P(x)=x ^{2007}+3x+2008}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=x ^{2}+1}\)

oraz

\(\displaystyle{ P(x)= x^{444} +x ^{111}+x-1}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=(x ^{2}+1) ^{2}}\)

Więc \(\displaystyle{ P(x)= Q(x) \cdot I(x)+ R(x)}\)

\(\displaystyle{ st. R(x) \le 1 \Rightarrow R(x)=ax+b}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b \in \mathb R}\)


Pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ Q(x)= x ^{2}+1}\), \(\displaystyle{ Q(x)=(x-i)(x+i)}\) to mz:\(\displaystyle{ \left\{ i,-i\right\}}\)

Tak więc można zapisać:
\(\displaystyle{ P(i)=R(i)}\) oraz \(\displaystyle{ P(-i)=R(-i)}\)

\(\displaystyle{ P(i)=i ^{2007}+3i+2008}\) \(\displaystyle{ R(i)=ai+b}\)

\(\displaystyle{ P(-i)=(-i) ^{2007}-3i+2008}\) \(\displaystyle{ R(-i)=-ai+b}\)

Tutaj się zatrzymałem.

[Kartezjusz]

Zapisz wielomiany pod potęgami do postaci trygonometrycznej, zastosuj wzór De Moivre'a.

[Samlor]

Zapisz wielomiany pod potęgami do postaci trygonometrycznej, zastosuj wzór De Moivre'a.

Nie za bardzo wiem, jak to zrobić.

[Kartezjusz]

Liczby pod potęgami znaczy się. czyli u Ciebie \(\displaystyle{ i}\), bo zostało podniesione do \(\displaystyle{ 2007}\) potęgi. Możesz też badać \(\displaystyle{ i,i^{2},i^{3},...}\) ciąg powinien wyjść Ci okresowy, co ułatwi obliczenie potęgi.

[Samlor]

a mogę zapisać że\(\displaystyle{ (-i) ^{2007}=-i\cdot (i ^{2}) ^{1003}=-i ?}\)

[Kartezjusz]

Tak , jak najbardziej. Jesteś w Ciele. Prawa potęg zachowane.