wyznaczanie parametru i pierwiastków wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
nonienonie+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 19 paź 2013, o 16:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy

wyznaczanie parametru i pierwiastków wielomianu

Post autor: nonienonie+ »

Liczby \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -3}\) są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3 + ax^2 + b}\).
a) wyznacz a,b oraz trzeci pierwiastek tego wielomianu
b) rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{2}}7 \cdot W(x)>0}\)
Ostatnio zmieniony 26 lis 2013, o 19:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

wyznaczanie parametru i pierwiastków wielomianu

Post autor: chris_f »

Skoro te liczby to pierwiastki to mamy, że
\(\displaystyle{ \begin{cases}2^3+a\cdot2^2+b=0\\ (-3)^3+a\cdot(-3)^2+b=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}4a+b=-8\\ 9a+b=27\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 5a=35}\)
\(\displaystyle{ a=7}\)
\(\displaystyle{ b=-36}\)
Skoro już wiemy jak wygląda wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^3+7x^2-36}\), to podziel go przez \(\displaystyle{ (x-2)(x+3)=x^2+x-6}\), stamtąd będziesz miał trzeci pierwiastek

co do nierówności: (oczywiście należy uwzględnić dziedzinę, czyli przedziały, gdzie \(\displaystyle{ W(x)>0}\), ale to już łatwe, gdy mamy pierwiastki)
\(\displaystyle{ \log_{\frac12}7(x^3+7x^2-36)>0}\)
\(\displaystyle{ 7(x^3+7x^2-36)<1}\)
\(\displaystyle{ 7x^3+49x^2-253<0}\)
i zostaje zwykła nierówność wielomianowa - sprawdź wszystkie rachunki bo liczyłem to w pamięci, mogłem się pomylić.
nonienonie+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 19 paź 2013, o 16:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy

wyznaczanie parametru i pierwiastków wielomianu

Post autor: nonienonie+ »

nie będzie błędem jeśli oddzielnie podzielę ten wielomian przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) i \(\displaystyle{ (x+3)}\)?
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

wyznaczanie parametru i pierwiastków wielomianu

Post autor: chris_f »

Oczywiście, że nie, wyjdzie to samo.
nonienonie+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 19 paź 2013, o 16:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy

wyznaczanie parametru i pierwiastków wielomianu

Post autor: nonienonie+ »

mam też inne pytanie, w jaki sposób pozbyliśmy się tu logarytmu?
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

wyznaczanie parametru i pierwiastków wielomianu

Post autor: piasek101 »

Zero z prawej zostało zamienione na logarytm o podstawie 0,5 ; a potem logarytmy ,,zniknięto".-- 26 listopada 2013, 21:49 --
chris_f pisze: \(\displaystyle{ \log_{\frac12}7(x^3+7x^2-36)>0}\)
\(\displaystyle{ 7(x^3+7x^2-36)<1}\)
Ale \(\displaystyle{ W(x)}\) nie jest pod logarytmem.
chris_f
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2727
Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 945 razy

wyznaczanie parametru i pierwiastków wielomianu

Post autor: chris_f »

piasek101 pisze: Ale \(\displaystyle{ W(x)}\) nie jest pod logarytmem.
W takim razie zadanie jest trochę bezsensowne. Zresztą wtedy napisano by raczej
\(\displaystyle{ W(x)\log_{\frac12}7<1}\)
(ale to może kwestia gustu).
Wtedy to nie bardzo widzę metody rozwiązania tej nierówności, gdy wyraz wolny będzie zawierał wyrażenie typu \(\displaystyle{ \frac{1}{\log_{\frac12}7}}\).
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

wyznaczanie parametru i pierwiastków wielomianu

Post autor: Kartezjusz »

Zauważmy, że lewa strona różnicy jest to liczba razy wielomian. Wystarczy podzielić przerz tą liczbę. Pilnujemy znaku.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

wyznaczanie parametru i pierwiastków wielomianu

Post autor: piasek101 »

350355.htm
ODPOWIEDZ