suma współczynników wielomianu

[immun]

1. Oblicz sumę wszystkich współczynników wielomianu W9x), jeśli
a) \(\displaystyle{ W(x)=(x ^{3} -x + 1 ) ^{2000} + (x ^{2} +x - 1) ^{2001}}\)

b) \(\displaystyle{ W(x)= 2(x ^{2} +2x-4) ^{40} - 3(x-2) ^{39}}\)

2. Rozłóż podane wielomiany na czynniki i podaj ich miejsca zerowe

a) \(\displaystyle{ W(x) = 2x ^{4} + x ^{3} + 4x ^{2} +x+2}\)

b) \(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} +3x ^{3} + 4x ^{2} -6x - 12}\)

Z gory dziękuje!

[Chromosom]

1. Suma współczynników wielomianu to \(\displaystyle{ W(1)}\).
2. Spróbuj odgadnąć pierwiastki.

[immun]

Właśnie chodzi tu o to, żeby tak to przekształcić (np rozbić jeden wyraz na kilka) żeby dało się to pogrupować. Nie bardzo mi to wychodzi

a co do pierwszego to juz wszystko jasne, dziękuje!

[piasek101]

a) nie ma pierwiastków, przyrównaj go do \(\displaystyle{ (2x^2+ax+2)(x^2+bx+1)}\) i wyznacz (a) i (b)

[Mariusz M]

a) nie ma pierwiastków, przyrównaj go do \(\displaystyle{ (2x^2+ax+2)(x^2+bx+1)}\) i wyznacz (a) i (b)

Jak już w ten sposób to podziel go przez dwa i przyrównaj do

\(\displaystyle{ (x^2+px+q)(x^2+rx+s)}\)

bo wyraz wolny nie musi się rozkładac tak jak podał piasek

\(\displaystyle{ W(x) = 2x ^{4} + x ^{3} + 4x ^{2} +x+2}\)

Tutaj łatwo pogrupowac

\(\displaystyle{ 2x ^{4} + x ^{3} + 4x ^{2} +x+2=2x ^{4} + x ^{3} + 2x ^{2}+2x^{2} +x+2\\
=x^{2}\left( 2x^2+x+2\right)+\left( 2x^2+x+2\right)=0\\
\left( 2x^2+x+2\right)\left( x^2+1\right)=0\\}\)

Pomysł z porównaniem wielomianu do iloczynu dwóch trójmianów jest o tyle dobry
że działa dla każdego wielomianu czwartego stopnia
Rozkład który ja podałem jest bardziej ogólny niż ten który podał piasek101

W 2. grupowanie daje dobre rezultaty