Witam,
Mam problem z kilkoma zadania odnośnie rozkładania wielomianu na czynniki. Zastanawiają mnie następujące przykłady:
a)\(\displaystyle{ x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6}\)
b)\(\displaystyle{ x^{3} - x^{2} - 3x - 9}\)
c)\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + x^{2} - 3x}\)
Rozwiąż równanie wielomianowe.
- mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe.
Proponuję szukać pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego i dzielić wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to pierwiastek wielomianu.
-
- Użytkownik
- Posty: 59
- Rejestracja: 3 sie 2012, o 22:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 27 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe.
Też tak właśnie myślałem, żeby zrobić, jednak widząc, że autor wyrazie wolnym \(\displaystyle{ a_{0}}\) dał liczby, które mają dużo dzielników np. 16 (w innych podpunktach) pomyślałem, że jest to taka delikatna sugestia, żeby nie korzystać z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych a potem z twierdzenia Bezouta tylko wymyślić jakiś inny krótszy sposób, dlatego zapytałem tutaj na forum czy ktoś ma na to jakiś pomysł, czy jednak trzeba się przejechać przez wszystkie dzielniki wyrazu wolnego.
- mmoonniiaa
- Użytkownik
- Posty: 5482
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 1470 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe.
Można też próbować kombinować i zauważyć pewną prawidłowość we współczynnikach:
\(\displaystyle{ 1/ \red -6 \black / \blue 11 \black /-6}\)
zamienić na:
\(\displaystyle{ \left( 1/ \red -1 \black \right) /\left(\red -5 \black / \blue 5 \black \right) /\left( \blue 6 \black /-6\right)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6=x^{3} -x^2- 5x^{2} + 5x+6x - 6}\)
I teraz wyciągać wspólny czynnik przed nawias.
\(\displaystyle{ 1/ \red -6 \black / \blue 11 \black /-6}\)
zamienić na:
\(\displaystyle{ \left( 1/ \red -1 \black \right) /\left(\red -5 \black / \blue 5 \black \right) /\left( \blue 6 \black /-6\right)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6=x^{3} -x^2- 5x^{2} + 5x+6x - 6}\)
I teraz wyciągać wspólny czynnik przed nawias.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiąż równanie wielomianowe.
a) \(\displaystyle{ W\left( 1\right)=0}\)
b) \(\displaystyle{ W\left( 3\right)=0}\)
c) \(\displaystyle{ W\left( 0\right)=0\\W\left( 1\right)=0}\)
Na równania trzeciego i czwartego stopnia jest sposób nie wymagający "zgadywania"
pierwiastka
Miałeś liczby zespolone ?
Mogą one byc pomocne
1. Równanie trzeciego stopnia
Niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon_{1}\varepsilon_{2}=1 \\\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0 \end{cases}}\)
zapisujesz układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+\varepsilon_{1}x_{2}+\varepsilon_{2}x_{3}=u_{1} \\ x_{1}+\varepsilon_{2}x_{2}+\varepsilon_{1}x_{3}=u_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{a_{2}}{3a_{3}} \end{cases}}\)
Korzystając z tego układu równań łatwo wyrazisz \(\displaystyle{ x}\) za pomocą \(\displaystyle{ u}\)
Współczynniki równania
\(\displaystyle{ \left( u-u_{1}\right)\left( u-\varepsilon_{1}u_{1}\right)\left( u-\varepsilon_{2}u_{1}\right)\left( u-u_{2}\right)\left( u-\varepsilon_{1}u_{2}\right)\left( u-\varepsilon_{2}u_{2}\right)=0}\)
są wielomianami symetrycznymi zmiennych \(\displaystyle{ x_{i}}\) i mogą byc wyrażone przez wielomiany symetryczne podstawowe a następnie (korzystając z wzorów Viete)
przez współczynniki wyjściowego równania
2. Równanie czwartego stopnia
Zapisujesz układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=u_{1} \\x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=u_{2}\\
x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=u_{3}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{a_{3}}{4a_{4}} \end{cases}}\)
Współczynniki równania
\(\displaystyle{ \left( u-u_{1}\right)\left( u+u_{1}\right)\left( u-u_{2}\right)\left( u+u_{2}\right)\left( u-u_{3}\right)\left( u+u_{3}\right)=0}\)
są wielomianami symetrycznymi zmiennych \(\displaystyle{ x_{i}}\) i mogą byc wyrażone przez wielomiany symetryczne podstawowe a następnie (korzystając z wzorów Viete)
przez współczynniki wyjściowego równania
Wielomian jest symetryczny jeśli po dowolnej permutacji zmiennych otrzymamy wielomian równy wyjściowemu wielomianowi
Możesz zajrzec do tematu Rogala w kompendium
3841.htm
b) \(\displaystyle{ W\left( 3\right)=0}\)
c) \(\displaystyle{ W\left( 0\right)=0\\W\left( 1\right)=0}\)
Na równania trzeciego i czwartego stopnia jest sposób nie wymagający "zgadywania"
pierwiastka
Miałeś liczby zespolone ?
Mogą one byc pomocne
1. Równanie trzeciego stopnia
Niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon_{1}\varepsilon_{2}=1 \\\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0 \end{cases}}\)
zapisujesz układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+\varepsilon_{1}x_{2}+\varepsilon_{2}x_{3}=u_{1} \\ x_{1}+\varepsilon_{2}x_{2}+\varepsilon_{1}x_{3}=u_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{a_{2}}{3a_{3}} \end{cases}}\)
Korzystając z tego układu równań łatwo wyrazisz \(\displaystyle{ x}\) za pomocą \(\displaystyle{ u}\)
Współczynniki równania
\(\displaystyle{ \left( u-u_{1}\right)\left( u-\varepsilon_{1}u_{1}\right)\left( u-\varepsilon_{2}u_{1}\right)\left( u-u_{2}\right)\left( u-\varepsilon_{1}u_{2}\right)\left( u-\varepsilon_{2}u_{2}\right)=0}\)
są wielomianami symetrycznymi zmiennych \(\displaystyle{ x_{i}}\) i mogą byc wyrażone przez wielomiany symetryczne podstawowe a następnie (korzystając z wzorów Viete)
przez współczynniki wyjściowego równania
2. Równanie czwartego stopnia
Zapisujesz układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=u_{1} \\x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=u_{2}\\
x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=u_{3}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{a_{3}}{4a_{4}} \end{cases}}\)
Współczynniki równania
\(\displaystyle{ \left( u-u_{1}\right)\left( u+u_{1}\right)\left( u-u_{2}\right)\left( u+u_{2}\right)\left( u-u_{3}\right)\left( u+u_{3}\right)=0}\)
są wielomianami symetrycznymi zmiennych \(\displaystyle{ x_{i}}\) i mogą byc wyrażone przez wielomiany symetryczne podstawowe a następnie (korzystając z wzorów Viete)
przez współczynniki wyjściowego równania
Wielomian jest symetryczny jeśli po dowolnej permutacji zmiennych otrzymamy wielomian równy wyjściowemu wielomianowi
Możesz zajrzec do tematu Rogala w kompendium
3841.htm