Rozwiąż równanie wielomianowe.

[isio05]

Witam,

Mam problem z kilkoma zadania odnośnie rozkładania wielomianu na czynniki. Zastanawiają mnie następujące przykłady:

a)\(\displaystyle{ x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6}\)

b)\(\displaystyle{ x^{3} - x^{2} - 3x - 9}\)

c)\(\displaystyle{ x^{4} + x^{3} + x^{2} - 3x}\)

[mmoonniiaa]

Proponuję szukać pierwiastków wśród dzielników wyrazu wolnego i dzielić wielomian przez dwumian \(\displaystyle{ x-a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to pierwiastek wielomianu.

[isio05]

Też tak właśnie myślałem, żeby zrobić, jednak widząc, że autor wyrazie wolnym \(\displaystyle{ a_{0}}\) dał liczby, które mają dużo dzielników np. 16 (w innych podpunktach) pomyślałem, że jest to taka delikatna sugestia, żeby nie korzystać z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych a potem z twierdzenia Bezouta tylko wymyślić jakiś inny krótszy sposób, dlatego zapytałem tutaj na forum czy ktoś ma na to jakiś pomysł, czy jednak trzeba się przejechać przez wszystkie dzielniki wyrazu wolnego.

[bakala12]

To nie trzeba sprawdzać wszystkich, tylko trafić w ten odpowiedni od razu (wymaga to trochę wprawy).

[mmoonniiaa]

Można też próbować kombinować i zauważyć pewną prawidłowość we współczynnikach:
\(\displaystyle{ 1/ \red -6 \black / \blue 11 \black /-6}\)
zamienić na:
\(\displaystyle{ \left( 1/ \red -1 \black \right) /\left(\red -5 \black / \blue 5 \black \right) /\left( \blue 6 \black /-6\right)}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6=x^{3} -x^2- 5x^{2} + 5x+6x - 6}\)
I teraz wyciągać wspólny czynnik przed nawias.

[Mariusz M]

a) \(\displaystyle{ W\left( 1\right)=0}\)
b) \(\displaystyle{ W\left( 3\right)=0}\)
c) \(\displaystyle{ W\left( 0\right)=0\\W\left( 1\right)=0}\)

Na równania trzeciego i czwartego stopnia jest sposób nie wymagający "zgadywania"
pierwiastka

Miałeś liczby zespolone ?
Mogą one byc pomocne

1. Równanie trzeciego stopnia

Niech

\(\displaystyle{ \begin{cases} \varepsilon_{1}\varepsilon_{2}=1 \\\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+1=0 \end{cases}}\)

zapisujesz układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+\varepsilon_{1}x_{2}+\varepsilon_{2}x_{3}=u_{1} \\ x_{1}+\varepsilon_{2}x_{2}+\varepsilon_{1}x_{3}=u_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{a_{2}}{3a_{3}} \end{cases}}\)

Korzystając z tego układu równań łatwo wyrazisz \(\displaystyle{ x}\) za pomocą \(\displaystyle{ u}\)

Współczynniki równania

\(\displaystyle{ \left( u-u_{1}\right)\left( u-\varepsilon_{1}u_{1}\right)\left( u-\varepsilon_{2}u_{1}\right)\left( u-u_{2}\right)\left( u-\varepsilon_{1}u_{2}\right)\left( u-\varepsilon_{2}u_{2}\right)=0}\)

są wielomianami symetrycznymi zmiennych \(\displaystyle{ x_{i}}\) i mogą byc wyrażone przez wielomiany symetryczne podstawowe a następnie (korzystając z wzorów Viete)
przez współczynniki wyjściowego równania



2. Równanie czwartego stopnia

Zapisujesz układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=u_{1} \\x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=u_{2}\\
x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=u_{3}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-\frac{a_{3}}{4a_{4}} \end{cases}}\)

Współczynniki równania

\(\displaystyle{ \left( u-u_{1}\right)\left( u+u_{1}\right)\left( u-u_{2}\right)\left( u+u_{2}\right)\left( u-u_{3}\right)\left( u+u_{3}\right)=0}\)

są wielomianami symetrycznymi zmiennych \(\displaystyle{ x_{i}}\) i mogą byc wyrażone przez wielomiany symetryczne podstawowe a następnie (korzystając z wzorów Viete)
przez współczynniki wyjściowego równania

Wielomian jest symetryczny jeśli po dowolnej permutacji zmiennych otrzymamy wielomian równy wyjściowemu wielomianowi

Możesz zajrzec do tematu Rogala w kompendium
3841.htm

[isio05]

Dzięki za odpowiedzi. Oba sposoby okazały się bardzo przydatne.