dziedzina i miejsca zerowe

[albert616]

\(\displaystyle{ f(x) = x^{4} + 4x ^{3} - 18x}\)

[mortan517]

Na początku \(\displaystyle{ x}\) przed nawias. Później szukasz miejsc zerowych z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych albo na tzw. "czuja".

[TPB]

Dziedzina to oczywiście wszystkie liczby rzeczywiste.
Funkcja ma dwa miejsca zerowe: \(\displaystyle{ x=0}\) (bo można wyłączyć przed nawias) i \(\displaystyle{ x \approx 1,766734}\) (wynik z kalkulatora). Trudno ręcznie znaleźć pierwiastki, ale jeżeli już musisz to poczytaj np. o wzorach Cardano.

[albert616]

a nie mógłbym po wyłączeniu x przed nawias obliczyć delty?

[Seth Briars]

Mógłbyś obliczyć tzw. deltę równania trzeciego stopnia, bo po wyłączeniu \(\displaystyle{ x}\) przed nawias, w nawiasie będziesz miał równanie stopnia trzeciego.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ f(x) = x^{4} + 4x ^{3} - 18x}\)

\(\displaystyle{ x^{4} + 4x ^{3} - 18x=0\\
x\left( x^{3}+4x^{2}-18\right)=0\\
W\left( x\right)= x^{3}+4x^{2}-18\\}\)

Teraz ja znam dwa pomysły

1.
Obniżasz stropień równania jednym z podstawień

\(\displaystyle{ x=u+v- \frac{4}{3}\\
x=u-\frac{W^{\prime}\left( - \frac{4}{3} \right) }{3u}- \frac{4}{3}\\}\)

2.
Sprowadzasz równanie do postaci wzoru na funkcje trygonometryczne (sinus,cosinus)
kąta potrojonego
\(\displaystyle{ x=u\cos{\left( \theta\right) }-\frac{4}{3}}\)
gzie u wyznaczasz tak aby otrzymac wzór na cosinus kąta potrojonego

Jeśli jest tak jak napisał poprzednik a ty nie miałeś zespolonych to sprowadź podstawieniami
do równania kwadratowego

\(\displaystyle{ x^{3}+4x^{2}-18=0\\
x=\left( u+v- \frac{4}{3} \right)\\
\left( \left( u+v\right)-\frac{4}{3} \right)^3+4\left( \left( u+v\right)-\frac{4}{3} \right)^2-18=0\\
\left( u+v\right)^3-4\left( u+v\right)^2+ \frac{16}{3}\left( u+v\right)- \frac{64}{27}+4\left( u+v\right)^2-\frac{32}{3}\left( u+v\right)+\frac{64}{9}-18=0\\
\left( u+v\right)^3-\frac{16}{3}\left( u+v\right)-\frac{64-192+486}{27}=0\\
\left( u+v\right)^3-\frac{16}{3}\left( u+v\right)-\frac{358}{27}=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-\frac{16}{3}\left( u+v\right)-\frac{358}{27}=0\\
u^3+v^3-\frac{358}{27}+3\left( u+v\right)\left( uv-\frac{16}{9}\right)=0\\
\begin{cases}u^3+v^3-\frac{358}{27}=0 \\ uv-\frac{16}{9}=0 \end{cases} \\
\begin{cases}u^3+v^3=\frac{358}{27} \\ uv=\frac{16}{9} \end{cases} \\
\begin{cases}u^3+v^3=\frac{358}{27} \\ u^3v^3=\frac{4096}{729} \end{cases} \\
t^2-\frac{358}{27}t+\frac{4096}{729}=0\\
\left( t-\frac{179}{27}\right) ^2-\left(\frac{179}{27} \right)^2+\frac{4096}{729}=0\\
1^2=1\\
17^2=100+27 \cdot 7=289\\
179^2=28900+349 \cdot 9=28900+3141=32041\\
32041-4096=27945\\
\left( t-\frac{179}{27}\right) ^2-\frac{27945}{729}=0\\
\left(t-\frac{179+\sqrt{27945}}{27} \right)\left( t-\frac{179-\sqrt{27945}}{27}\right) =0\\
x_{1}=\frac{1}{3}\left( \sqrt[3]{179+\sqrt{27945}}+ \sqrt[3]{179-\sqrt{27945}}-4 \right)\\}\)