\(\displaystyle{ W(x)=x^{2011}-x+1}\)
Czy ten wielomian ma co najwyżej jeden pierwiastek rzeczywisty?
Pomyślałem tak:
\(\displaystyle{ G(x)=x^{2011}-x=x(x^{2010}-1)}\)
Miejsca zerowe to:
\(\displaystyle{ x=0 \vee x^{2010}=1}\)
\(\displaystyle{ x^{2010}=1 \Leftrightarrow x=1 \vee x=-1}\)
Teraz wiem, że aby otrzymać wyjściowy wielomian muszę ten \(\displaystyle{ G(x)}\) przesunąć o wektor \(\displaystyle{ \vec{w} = [0,1]}\)
Jednak nie wiem jak dalej z tym ruszyć
Ilość pierwiastków pewnego wielomianu
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Ilość pierwiastków pewnego wielomianu
Dla \(\displaystyle{ x\ge 1}\) mamy \(\displaystyle{ x^{2011}-x\ge 0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)>0}\).
Dla \(\displaystyle{ xin [0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ x^{2011}\ge 0}\) i \(\displaystyle{ -x+1>0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)>0}\)
Dla \(\displaystyle{ xin [-1,0)}\) mamy \(\displaystyle{ x^{2011}+1\ge 0}\) i \(\displaystyle{ -x>0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)>0}\).
Pozostaje więc wykazać, że w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, -1)}\) jest co najwyżej jeden pierwiastek. Ale to łatwe, bo można pokazać, że pochodna w tym przedziale jest stale dodatnia, a to oznacza, że funkcja jest tam rosnąca.
Q.
Dla \(\displaystyle{ xin [0,1)}\) mamy \(\displaystyle{ x^{2011}\ge 0}\) i \(\displaystyle{ -x+1>0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)>0}\)
Dla \(\displaystyle{ xin [-1,0)}\) mamy \(\displaystyle{ x^{2011}+1\ge 0}\) i \(\displaystyle{ -x>0}\), więc \(\displaystyle{ f(x)>0}\).
Pozostaje więc wykazać, że w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, -1)}\) jest co najwyżej jeden pierwiastek. Ale to łatwe, bo można pokazać, że pochodna w tym przedziale jest stale dodatnia, a to oznacza, że funkcja jest tam rosnąca.
Q.