Wielomian 3-ciego stopnia z parametrem.
-
Andrzejmm
- Użytkownik
- Posty: 187
- Rejestracja: 19 lis 2006, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 58 razy
- Pomógł: 13 razy
Wielomian 3-ciego stopnia z parametrem.
Dla jakich wartości parametru p równanie \(\displaystyle{ x^{3}-(p+1)x^{2}+(p-3)x+3=0}\) posiada dokładnie trzy różne rozwiązania rzeczywiste, z których jedno jest średnią arytmetyczną pozostałych?
-
iwetta
- Użytkownik
- Posty: 188
- Rejestracja: 22 wrz 2005, o 19:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 18 razy
Wielomian 3-ciego stopnia z parametrem.
\(\displaystyle{ x^{3}-px^{2}+x^{2}+px-3x+3=0}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(x-1)-px(x-1)-3(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x^2-px-3)=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=1\vee x^{2}-px-3=0\Rightarrow\Delta=p^{2}+12}\)
\(\displaystyle{ \Delta>0\Rightarrowp^{2}+12>0}\)
\(\displaystyle{ p^{2}>-12\Rightarrow\bigwedge\limits_{x\in R}p^{2}>-12}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-\sqrt{p^{2}+12}+p}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{\sqrt{p^{2}+12}+p}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=1\vee\frac{x_{1}+1}{2}=x_{2}\vee\frac{x_{2}+1}{2}=x_{1}{}\)
wezmę się za 1 opcje
\(\displaystyle{ \frac{-\sqrt{p^{2}+12}+p}{2}+\frac{\sqrt{p^{2}+12}+p}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-\sqrt{p^{2}+12}+p+\sqrt{p^{2}+12}+p}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ p=2}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-\sqrt{2^{2}+12}+2}{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{\sqrt{2^{2}+12}+2}{2}=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1+3}{2}=1}\)
w pozostałych przypadkach nie wyjdzie.
\(\displaystyle{ x^{2}(x-1)-px(x-1)-3(x-1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x^2-px-3)=0}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=1\vee x^{2}-px-3=0\Rightarrow\Delta=p^{2}+12}\)
\(\displaystyle{ \Delta>0\Rightarrowp^{2}+12>0}\)
\(\displaystyle{ p^{2}>-12\Rightarrow\bigwedge\limits_{x\in R}p^{2}>-12}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-\sqrt{p^{2}+12}+p}{2}}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{\sqrt{p^{2}+12}+p}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=1\vee\frac{x_{1}+1}{2}=x_{2}\vee\frac{x_{2}+1}{2}=x_{1}{}\)
wezmę się za 1 opcje
\(\displaystyle{ \frac{-\sqrt{p^{2}+12}+p}{2}+\frac{\sqrt{p^{2}+12}+p}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-\sqrt{p^{2}+12}+p+\sqrt{p^{2}+12}+p}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ p=2}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=\frac{-\sqrt{2^{2}+12}+2}{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=\frac{\sqrt{2^{2}+12}+2}{2}=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{-1+3}{2}=1}\)
w pozostałych przypadkach nie wyjdzie.
