Reszta dzielenia wielomianów.

[Slvbard]

\(\displaystyle{ P(x) = x^{2002} + x^{2001} + 2000}\)

\(\displaystyle{ Q(x) = x^{4} - 2x^{2} + 1}\)

Mam znaleźć resztę z dzielenia wielomianu P przez Q. Wyliczyłem pierwiastki z Q(x), czyli jest to 1 i (-1), obydwa drugiego stopnia. Wiadomo jednak, że resztą będzie wielomian trzeciego stopnia. Pojawił się więc problem, ponieważ mam 2 równania i cztery niewiadome (współczynniki).

\(\displaystyle{ R(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx^{} + d}\) - reszta

oraz równania: \(\displaystyle{ P(x) = R(x)}\) dla \(\displaystyle{ x = 1 \vee x = -1}\)

\(\displaystyle{ 2002 = a + b + c + d \wedge 2000 = -a + b -c + d}\)

Bardzo bym prosił o wskazówki jak należy się zabrać do tego zadania.

[chris_f]

Jakim cudem pierwiastkami \(\displaystyle{ Q(x)}\) będą liczby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -1}\)?

[Mariusz M]

Pozostałe równania otrzymasz licząc pochodną obydwu stron równości

\(\displaystyle{ P\left( x\right)=Q\left( x\right)V\left(x\right)+R\left( x\right)}\)

\(\displaystyle{ P\left( x\right)=\left( x^2-1\right)^2V\left( x\right)+R\left( x\right) \\
P^{\prime}\left( x\right)=2\left( x^2-1\right) \cdot 2x \cdot V\left(x\right)+\left( x^2-1\right)^2V^{\prime}\left( x\right)+R^{\prime}\left( x\right)\\
P^{\prime}\left( x\right)=\left( x^2-1\right)\left( 4xV\left( x\right)+\left( x^2-1\right)V^{\prime}\left( x\right) \right)+R^{\prime}\left( x\right)}\)

[chris_f]

Nie cierpię, gdy ktoś podaje zadanie z błędem, po zwróceniu uwagi, że coś jest nie tak, cichaczem edytuje swój post i udaje, że nic się nie stało, a ten co pisał kolejny post wychodzi na idiotę.

[Slvbard]

chris_f, faktycznie powinienem dodać komentarz, że edytowałem treść zadania.

mariuszm dzięki za pomoc.