Rozkład wielomianu trzeciego stopnia

[piotrm50]

Witam! W trakcie rozwiązywania zadań natknąłem się na coś takiego:
\(\displaystyle{ x^{3}+2x^{2}+1=0}\)
Nie wiem jak sie do tego zabrać, ponieważ równanie to nie ma pierwiastków wymiernych, pogrupować tego też mi się nie udało. Macie jakieś pomysły jak to rozłożyć?

[Zahion]

Myślę, że musisz skorzystać tutaj ze wzorów Cardano.

[Hajtowy]

Kup pomysł na

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node127.html

Tylko to Cię tu uratuje

[Mariusz M]

Na równanie trzeciego stopnia postaci

\(\displaystyle{ W\left( x\right)= a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\)

zadziałają dwa pomysły

1 Redukujesz stopień wielomianu jednym z podstawień

\(\displaystyle{ x=u+v-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\
x=u-\frac{W^{\prime}\left( -\frac{a_{2}}{3a_{3}}\right) }{3a_{3}u}-\frac{a_{2}}{3a_{3}}\\}\)

(Pochodną wielomianu w punkcie możesz policzyc chociażby używając schematu Hornera)

Drugie podstawienie sprowadza równanie trzeciego stopnia od razu do równania kwardatowego ale zanim użyjesz tego drugiego podstawienia sprawdzasz czy da się rozłożyc wielomian
korzystając ze wzorów skróconego mnożenia (ze względu na możliwe dzielenie przez zero)

Jeżeli użyjesz pierwszego podstawienia to dostaniesz równanie które łatwo
przekształcic w układ równań który przypomina wzory Viete dla równania kwadratowego


2. Drugi pomysł to zabawa z trygonometrią
Stosujesz takie podstawienie aby sprowadzic równanie trzeciego stopnia do postaci wzoru na
funkcje trygonometryczne (sinus bądź cosinus) kąta potrojonego

Możesz podstawic \(\displaystyle{ x=u\cos{\left( \theta\right) }-\frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
gdzie u wyznaczasz tak aby otrzymac wzór na cosinus kąta potrojonego