Twierdzenie o jednoznaczności rozkładu wielomianów

[LeoBolzano]

Potrafi ktoś to udowodnić:
Rozkład wielomianu niezerowego o współczynnikach rzeczywistych na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych jest jednoznaczny.

[szw1710]

Jest tak, bo robi się go w oparciu o rozkład na czynniki liniowe zespolone. Najpierw znajdujemy pierwiastki rzeczywiste, rozkładamy co się da i jest. Teraz czas na pierwiastki zespolone. A te - jak nieszczęścia - chodzą parami. Jeśli \(\displaystyle{ z_0\in\CC\setminus\RR}\) jest pierwiastkiem, to sprzężenie \(\displaystyle{ \overline{z_0}}\) też jest. Dowodziłem tego na Forum z miesiąc temu. Więc po rozłożeniu na czynniki mamy \(\displaystyle{ (x-z_0)(x-\overline{z_0})}\), co jest trójmianem kwadratowym o współczynnikach rzeczywistych, i to nierozkładalnym. Zakończymy rozumowanie powołaniem się na zasadnicze twierdzenie algebry pozwalające na znalezienie wszystkich pierwiastków wielomianu - tylu, ile wynosi jego stopień (licząc razem z krotnościami).

Zapewne jest prostszy dowód, ale ja to tak widzę

[LeoBolzano]

No dobra, to rozumiem, ale jak można uzasadnić, że istnieje tylko jeden taki rozkład?

[szw1710]

Owszem, pokazałem jeden z nich. Ale rozkładając na \(\displaystyle{ n}\) zespolonych czynników liniowych (\(\displaystyle{ n}\) - stopień) z każdym czynnikiem związany jest pierwiastek. Więc będzie jednoznacznie. Grupujemy sprzężeniami, bo jak tego nie zrobimy - nie wyjdą trójmiany rzeczywiste. Tak więc rozkład na czynniki determinują pierwiastki zespolone i dlatego jest on dokładnie jeden.

[LeoBolzano]

Dzięki, teraz już wszystko jasne .