rozwiaz

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

rozwiaz

Post autor: mol_ksiazkowy »

\(\displaystyle{ x^{10}-x^{7}+x^{2}=x-1}\)
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

rozwiaz

Post autor: luka52 »

Obawiam się, że brak jest rozwiązań rzeczywistych.
Santie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 6 gru 2006, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Janów Lubelski
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 3 razy

rozwiaz

Post autor: Santie »

Mozna Obliczyc tylko dla

W(1)
W(-1)

To z wyznaczników p,q wnioskuje...
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

rozwiaz

Post autor: mol_ksiazkowy »

hm a dowód..?!
luka52
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8601
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1816 razy

rozwiaz

Post autor: luka52 »

Hmmm... może tak:
Mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x) = \left( x^{10} - x^7 \right) + \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}}\)
Wystarczy teraz pokazać, że:
\(\displaystyle{ \bigwedge \limits_{x \in \mathbb{R}} x^{10} - x^7 > - \frac{3}{4}}\)
Szukamy minimum (x^10 - x^7)
\(\displaystyle{ 10x^9 - 7x^6 = 0 \iff x = 0 \vee x^3 = \frac{7}{10} \iff x = 0 \vee x = \sqrt[3]{\frac{7}{10}}}\)
W pkt. \(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{\frac{7}{10}}}\) widzimy, że jest min.
Oraz \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{\frac{7}{10}} \right)^{10} - \left( \sqrt[3]{\frac{7}{10}} \right)^7 = -0.13}\)
\(\displaystyle{ 0.75 - 0.13 > 0}\)
Dodatkowo można spr. wart. wielomianu dla dowolnego arg. by upewnić sie, że wykres jest zawsze nad osią OX.

Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

rozwiaz

Post autor: max »

zauważmy, że:
\(\displaystyle{ x^{10} -x^{7} + x^{2} - x + 1 > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \leqslant 0}\)
oraz (na podstawie monotoniczności funkcji wykładniczej o podstawie większej od 1)
\(\displaystyle{ x^{10} -x^{7} + x^{2} - x + 1 > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \geqslant 1}\)

natomiast dla \(\displaystyle{ x \in (0, 1)}\) (na podstawie monotoniczności funkcji wykładniczej o podstawie mniejszej od jedynki) mamy:
\(\displaystyle{ x^{10} - x^{7} + x^{2} - x + 1 =\\
x^{10} - x^{7} + x + (x - 1)^{2} > x^{10} - x^{6} + x^{2} + (x - 1)^{2} =\\
= x^{2}((x^{4})^{2} - x^{4} + 1) + (x - 1)^{2} > 0}\)




Santie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 6 gru 2006, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Janów Lubelski
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 3 razy

rozwiaz

Post autor: Santie »

Czyli równanie nie ma rozwiazania?

Po co te dowody?
Awatar użytkownika
PFloyd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 620
Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kęty
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 122 razy

rozwiaz

Post autor: PFloyd »

santie, ty udowodniłeś że równanie nie ma pierwisatków wymiernych, a luk52 i max że nie ma rzeczywistych

btw. co się tak ostatnio modne zrobiło
" "?

chyba zapoczątkował to mol_książkowy
Santie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 107
Rejestracja: 6 gru 2006, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Janów Lubelski
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 3 razy

rozwiaz

Post autor: Santie »

Czyli jesli nie wezme pod uwage pierwiastków rzeczywistych to jest źle?:)
Awatar użytkownika
PFloyd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 620
Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kęty
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 122 razy

rozwiaz

Post autor: PFloyd »

Twierdzenie z którego korzystasz, to twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu. Sprawdzając że \(\displaystyle{ W(-1)\neq0}\) i \(\displaystyle{ W(1)\neq0}\) dowodzisz że wielomian ten nie ma pierwsiatków wymiernych. A to z kolei nie dowodzi niestnienia pierwsiatków rzeczywistych.
ODPOWIEDZ