rozwiaz
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
rozwiaz
Hmmm... może tak:
Mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x) = \left( x^{10} - x^7 \right) + \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}}\)
Wystarczy teraz pokazać, że:
\(\displaystyle{ \bigwedge \limits_{x \in \mathbb{R}} x^{10} - x^7 > - \frac{3}{4}}\)
Szukamy minimum (x^10 - x^7)
\(\displaystyle{ 10x^9 - 7x^6 = 0 \iff x = 0 \vee x^3 = \frac{7}{10} \iff x = 0 \vee x = \sqrt[3]{\frac{7}{10}}}\)
W pkt. \(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{\frac{7}{10}}}\) widzimy, że jest min.
Oraz \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{\frac{7}{10}} \right)^{10} - \left( \sqrt[3]{\frac{7}{10}} \right)^7 = -0.13}\)
\(\displaystyle{ 0.75 - 0.13 > 0}\)
Dodatkowo można spr. wart. wielomianu dla dowolnego arg. by upewnić sie, że wykres jest zawsze nad osią OX.
Mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x) = \left( x^{10} - x^7 \right) + \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}}\)
Wystarczy teraz pokazać, że:
\(\displaystyle{ \bigwedge \limits_{x \in \mathbb{R}} x^{10} - x^7 > - \frac{3}{4}}\)
Szukamy minimum (x^10 - x^7)
\(\displaystyle{ 10x^9 - 7x^6 = 0 \iff x = 0 \vee x^3 = \frac{7}{10} \iff x = 0 \vee x = \sqrt[3]{\frac{7}{10}}}\)
W pkt. \(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{\frac{7}{10}}}\) widzimy, że jest min.
Oraz \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{\frac{7}{10}} \right)^{10} - \left( \sqrt[3]{\frac{7}{10}} \right)^7 = -0.13}\)
\(\displaystyle{ 0.75 - 0.13 > 0}\)
Dodatkowo można spr. wart. wielomianu dla dowolnego arg. by upewnić sie, że wykres jest zawsze nad osią OX.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
rozwiaz
zauważmy, że:
\(\displaystyle{ x^{10} -x^{7} + x^{2} - x + 1 > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \leqslant 0}\)
oraz (na podstawie monotoniczności funkcji wykładniczej o podstawie większej od 1)
\(\displaystyle{ x^{10} -x^{7} + x^{2} - x + 1 > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \geqslant 1}\)
natomiast dla \(\displaystyle{ x \in (0, 1)}\) (na podstawie monotoniczności funkcji wykładniczej o podstawie mniejszej od jedynki) mamy:
\(\displaystyle{ x^{10} - x^{7} + x^{2} - x + 1 =\\
x^{10} - x^{7} + x + (x - 1)^{2} > x^{10} - x^{6} + x^{2} + (x - 1)^{2} =\\
= x^{2}((x^{4})^{2} - x^{4} + 1) + (x - 1)^{2} > 0}\)
\(\displaystyle{ x^{10} -x^{7} + x^{2} - x + 1 > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \leqslant 0}\)
oraz (na podstawie monotoniczności funkcji wykładniczej o podstawie większej od 1)
\(\displaystyle{ x^{10} -x^{7} + x^{2} - x + 1 > 0}\) dla \(\displaystyle{ x \geqslant 1}\)
natomiast dla \(\displaystyle{ x \in (0, 1)}\) (na podstawie monotoniczności funkcji wykładniczej o podstawie mniejszej od jedynki) mamy:
\(\displaystyle{ x^{10} - x^{7} + x^{2} - x + 1 =\\
x^{10} - x^{7} + x + (x - 1)^{2} > x^{10} - x^{6} + x^{2} + (x - 1)^{2} =\\
= x^{2}((x^{4})^{2} - x^{4} + 1) + (x - 1)^{2} > 0}\)
- PFloyd
- Użytkownik
- Posty: 620
- Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kęty
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 122 razy
rozwiaz
santie, ty udowodniłeś że równanie nie ma pierwisatków wymiernych, a luk52 i max że nie ma rzeczywistych
btw. co się tak ostatnio modne zrobiło
" "?
chyba zapoczątkował to mol_książkowy
btw. co się tak ostatnio modne zrobiło
" "?
chyba zapoczątkował to mol_książkowy
- PFloyd
- Użytkownik
- Posty: 620
- Rejestracja: 9 paź 2006, o 20:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kęty
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 122 razy
rozwiaz
Twierdzenie z którego korzystasz, to twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu. Sprawdzając że \(\displaystyle{ W(-1)\neq0}\) i \(\displaystyle{ W(1)\neq0}\) dowodzisz że wielomian ten nie ma pierwsiatków wymiernych. A to z kolei nie dowodzi niestnienia pierwsiatków rzeczywistych.