Podzielność wielomianów z dwoma parametrami

grun1 · Post autor: **grun1** » 2 lis 2013, o 20:50

Witam, ponownie ...
Napotkałem kolejny problem.
Treść zadania:
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ x^{5} -6x ^{3}+4x ^{2} +mx +k}\). Wyznacz parametry \(\displaystyle{ m,k}\) tak aby ten wielomian był podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ G(x)=(x+3) ^{2}}\)

Nie oczekuję gotowej odpowiedzi tylko nakierowania co z tym zrobić. Mój pomysł jest taki aby:
wyznaczyć pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ G(x)}\) ( jedyny pierwiastek to \(\displaystyle{ -3}\))
Obliczenie \(\displaystyle{ W(-3)}\) z czego wyszło mi \(\displaystyle{ k = 45+3m}\)
i dalej brak pomysłu...
Myślałem nad rozłożeniem \(\displaystyle{ w(x)}\) hornerem ale nie wiem czy jest to dobra idea.

Pozdrawiam

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 2 lis 2013, o 20:57

Najprościej zauważyć, że \(\displaystyle{ -3}\) jest pierwiastkiem wielomianu i jego pochodnej.

Można jednak próbować dzielić wielomian przez trójmian pisemnie i na tej podstawie wyznaczyć wartości parametrów.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 2 lis 2013, o 21:03

Wielomian \(\displaystyle{ G}\) jest liczbą - jeśli będzie zerem (tak piszecie) to nie będzie dzielenia.

X-sa w nim brak.

grun1 · Post autor: **grun1** » 2 lis 2013, o 21:05

No tak ale wielomian jest podzielny przez drugi wielomian gdy jego pierwiastki są takie same

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 2 lis 2013, o 21:06

Ale trzeba przyjąć, że \(\displaystyle{ G(x)}\) nie ma pierwiastków - jest jakąś liczbą.

Popatrz w treść i sprawdź czy x-sa w nim nie było.

grun1 · Post autor: **grun1** » 2 lis 2013, o 21:09

faktycznie...\(\displaystyle{ (x+3) ^{2}}\)

* poprawiam pierwszego posta

No więc tak podzieliłem hornerem i otrzymałem :
\(\displaystyle{ x ^{4} -3x ^{3} + 3x ^{2} -5x+15+m-15-3m+k}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 2 lis 2013, o 21:12

Więc tak jak chciałeś - Hornerem podziel przez \(\displaystyle{ (x+3)}\) --- resztę przyrównaj do zera.

Potem otrzymany wynik znowu podziel przez \(\displaystyle{ (x+3)}\) --- resztę przyrównaj do zera.

grun1 · Post autor: **grun1** » 2 lis 2013, o 21:36

No dobra myślałem że już uda mi się dojść do wyniku a tu... eh

przy pierwszym dzieleniu przez (x+3) otrzymałem :
\(\displaystyle{ x ^{4}-3x ^{3}+3x ^{2} +15+m-15-3m+k}\)
ponownie przy dzieleniu (x+3)
\(\displaystyle{ x ^{3} -6x ^{2}+21x-68+204-2m+k}\)

Nie wiem czy prawidłowo wykonałem obliczenia i nie wiem do dalej?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 2 lis 2013, o 21:56

Po pierwszym dzieleniu mam : \(\displaystyle{ x^4-3x^3+3x^2-5x+15+m}\) reszty \(\displaystyle{ -45-3m+k}\)

Snayk · Post autor: **Snayk** » 2 lis 2013, o 22:17

Najprościej jest zrobić to w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^{5} -6x ^{3}+4x ^{2} +mx +k=(ax ^{3} +bx ^{2}+cx +d)(x ^{2}+6x+9)}\).

Ahh sporo tego wyjdzie, ale wystarczy porównać współczynniki stojące przy tych samych potęgach.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 2 lis 2013, o 22:19

\(\displaystyle{ a=1}\) ale nie radzę tak robić, metoda na zużycie długopisu.